湖南大学 2024年高等代数第2题
📝 题目
2．判断题．正确的请简要证明，错误的请举出反例．
（1）已知 $\displaystyle V=W_{1} \oplus W_{2}$ ，则对任意的 $\displaystyle \alpha \in V$ ，有 $\displaystyle \alpha \in W_{1}$ 或 $\displaystyle \alpha \in W_{2}$ ．
（2）多项式 $\displaystyle p(x)$ 在数域 $K$ 上不可约，则 $\displaystyle p\left(x^{2}\right)$ 在数域 $K$ 上也不可约．
（3）$n$ 为偶数，则存在 $\displaystyle A, B \in M_{n \times n}(\mathbb{R})$ ，满足对任意的 $\displaystyle 0 \neq \alpha \in \mathbb{R}^{n}$ ，都有 $\displaystyle A \alpha, B \alpha$ 线性无关．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：判断（1）的正确性
题目说：若 $V=W_1\oplus W_2$，则对任意 $\alpha\in V$，有 $\alpha\in W_1$ 或 $\alpha\in W_2$。这是错误的。直和分解意味着每个向量可以唯一表示为 $w_1+w_2$，但向量本身不一定属于某个子空间。
公式：$V=W_1\oplus W_2$ 表示 $V=W_1+W_2$ 且 $W_1\cap W_2=\{0\}$
提示：注意直和分解不要求向量属于某个子空间，而是可以分解为两个子空间向量的和。
步骤 2/7
目标：构造（1）的反例
取 $V=\mathbb{R}^2$，$W_1=\{(x,0)\mid x\in\mathbb{R}\}$，$W_2=\{(0,y)\mid y\in\mathbb{R}\}$，则 $V=W_1\oplus W_2$。取 $\alpha=(1,1)$，则 $\alpha\notin W_1$ 且 $\alpha\notin W_2$，因此命题错误。
提示：反例要简单明了，通常取二维空间中的坐标轴子空间。
步骤 3/7
目标：判断（2）的正确性
题目说：若 $p(x)$ 在数域 $K$ 上不可约，则 $p(x^2)$ 在 $K$ 上也不可约。这是错误的。不可约性在变量替换后可能改变。
提示：注意不可约性依赖于数域，且变量替换可能引入新的分解。
步骤 4/7
目标：构造（2）的反例
在实数域 $\mathbb{R}$ 上，$p(x)=x^2+1$ 不可约（判别式小于0）。但 $p(x^2)=x^4+1$，可以分解为 $(x^2+\sqrt{2}x+1)(x^2-\sqrt{2}x+1)$，因此可约。
公式：$x^4+1=(x^2+\sqrt{2}x+1)(x^2-\sqrt{2}x+1)$
提示：注意 $x^4+1$ 的分解在实数域上成立，且 $\sqrt{2}$ 属于实数。
步骤 5/7
目标：判断（3）的正确性
题目说：$n$ 为偶数，则存在 $A,B\in M_{n\times n}(\mathbb{R})$，使得对任意非零 $\alpha\in\mathbb{R}^n$，$A\alpha$ 与 $B\alpha$ 线性无关。这是正确的。
提示：需要构造具体的矩阵，使得对任意非零向量，两个像线性无关。
步骤 6/7
目标：构造（3）的证明
取 $A=I$（单位矩阵），则 $A\alpha=\alpha$。取 $B$ 为分块对角矩阵，每个 $2\times2$ 块为旋转矩阵 $\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$，即 $B=\text{diag}\left(\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix},\ldots,\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}\right)$。则 $B\alpha$ 是 $\alpha$ 在每个二维子空间上旋转 $90^\circ$ 的结果。对任意非零 $\alpha$，$\alpha$ 与 $B\alpha$ 线性无关，因为若 $c_1\alpha+c_2B\alpha=0$，考虑第一个非零分量所在的二维块，可得 $c_1=c_2=0$。
公式：$B=\begin{pmatrix}0&-1&0&\cdots&0\\1&0&0&\cdots&0\\0&0&0&-1&\\0&0&1&0&\\&&&\ddots\end{pmatrix}$
提示：注意 $n$ 为偶数的条件保证了可以分成 $n/2$ 个 $2\times2$ 块。
步骤 7/7
目标：总结三个命题
（1）错误，反例：$\mathbb{R}^2$ 中坐标轴子空间，取 $(1,1)$。（2）错误，反例：$p(x)=x^2+1$，$p(x^2)=x^4+1$ 可约。（3）正确，构造 $A=I$，$B$ 为旋转矩阵。
提示：注意直和与直积的区别，不可约性在变量替换下的变化，以及线性无关的构造。
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