湖南大学 2024年高等代数第4题
📝 题目
4．记 $\displaystyle N(A)=\{\lambda \in \mathbb{C} \mid \lambda A$ 和 $A$ 相似 $\displaystyle \}$ ．
（1）$\displaystyle A=\left(\begin{array}{lll}0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ ，求 $\displaystyle N(A)$ ．
（2）$A$ 不是幂零矩阵，证明：$\displaystyle N(A)$ 为有限集．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析矩阵A的结构
给定矩阵 $A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$，计算其秩和幂零指数。易见 $A^2 = 0$，且 $\operatorname{rank}(A)=1$，故 $A$ 是幂零指数为2的幂零矩阵。其若尔当标准形为 $J = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$。
提示：注意矩阵的若尔当标准形不唯一，但标准形是唯一的。
步骤 2/6
目标：考虑λA的相似条件
对于 $\lambda \in \mathbb{C}$，计算 $\lambda A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & \lambda \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$。当 $\lambda \neq 0$ 时，$\lambda A$ 的秩仍为1，且 $(\lambda A)^2 = 0$，故其若尔当标准形也是 $J$。当 $\lambda = 0$ 时，$0 \cdot A = 0$，零矩阵的若尔当标准形是三个1阶零块，与 $J$ 不同。
提示：相似矩阵有相同的若尔当标准形，反之亦然。
步骤 3/6
目标：确定N(A)的取值
由相似条件，$\lambda A$ 与 $A$ 相似当且仅当 $\lambda \neq 0$。因此 $N(A) = \mathbb{C} \setminus \{0\}$。
提示：注意 $\lambda=0$ 时零矩阵与 $A$ 不相似，因为秩不同。
步骤 4/6
目标：问题(2)的证明思路
设 $A$ 不是幂零矩阵，则 $A$ 至少有一个非零特征值。设 $\mu$ 是 $A$ 的一个非零特征值。对于任意 $\lambda \in N(A)$，$\lambda A$ 与 $A$ 相似，因此它们有相同的特征值集合（计重数）。于是 $\lambda \mu$ 也是 $A$ 的特征值。
提示：相似矩阵的特征值相同。
步骤 5/6
目标：利用特征值集合的有限性
设 $\sigma(A)$ 是 $A$ 的特征值集合（有限集）。则对任意 $\lambda \in N(A)$，有 $\lambda \mu \in \sigma(A)$，从而 $\lambda \in \{ \nu / \mu : \nu \in \sigma(A) \}$。由于 $\sigma(A)$ 有限，该集合也有限，故 $N(A)$ 是有限集。
提示：注意 $\mu$ 固定且非零，除法有意义。
步骤 6/6
目标：补充说明λ=0的情况
若 $\lambda = 0$，则 $0 \cdot A = 0$，零矩阵与 $A$ 相似当且仅当 $A$ 本身是零矩阵，但 $A$ 非幂零，故 $0 \notin N(A)$。因此 $N(A)$ 中不含0，不影响有限性。
提示：零矩阵是幂零矩阵，但非幂零矩阵不可能是零矩阵。
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