湖南大学 2024年高等代数第6题
📝 题目
6．设 $A$ 是数域 $K$ 上的 $n$ 阶矩阵，证明 $\displaystyle r(A)=r$ 的充要条件是：存在两个线性无关的向量组
$$
\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r} \in K^{n}, \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{r} \in K^{n} .
$$
使得
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A=\alpha_{1} \beta_{1}^{T}+\alpha_{2} \beta_{2}^{T}+\cdots+\alpha_{r} \beta_{r}^{T}
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：必要性：利用秩分解
设 $r(A)=r$，则存在可逆矩阵 $P,Q$ 使得 $A = P \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} Q$。令 $P = (\gamma_1, \dots, \gamma_n)$，$Q = (\delta_1, \dots, \delta_n)^T$，则 $A = \sum_{i=1}^r \gamma_i \delta_i^T$。取 $\alpha_i = \gamma_i$，$\beta_i = \delta_i$，则 $\alpha_1,\dots,\alpha_r$ 线性无关（因为 $P$ 可逆），$\beta_1,\dots,\beta_r$ 线性无关（因为 $Q$ 可逆）。
公式：A = P \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} Q
提示：注意 $P$ 和 $Q$ 的列和行向量的对应关系，$\gamma_i$ 是 $P$ 的第 $i$ 列，$\delta_i^T$ 是 $Q$ 的第 $i$ 行。
步骤 2/5
目标：充分性：证明秩不超过 r
若 $A = \sum_{i=1}^r \alpha_i \beta_i^T$，且 $\alpha_1,\dots,\alpha_r$ 线性无关，$\beta_1,\dots,\beta_r$ 线性无关。则 $A$ 的列向量可由 $\alpha_1,\dots,\alpha_r$ 线性表示，故 $r(A) \le r$。
提示：注意 $\beta_i^T$ 是行向量，$\alpha_i \beta_i^T$ 是秩1矩阵，其列向量是 $\alpha_i$ 的倍数。
步骤 3/5
目标：充分性：构造向量证明秩至少为 r
考虑矩阵 $B = (\beta_1, \dots, \beta_r)^T$，则 $B$ 是 $r \times n$ 矩阵，秩为 $r$。存在 $x_1,\dots,x_r \in K^n$ 使得 $B x_i = e_i$（标准单位向量），则 $A x_i = \sum_{j=1}^r \alpha_j \beta_j^T x_i = \alpha_i$，故 $\alpha_i \in \text{Col}(A)$，所以 $\text{Col}(A)$ 包含 $r$ 个线性无关向量，$r(A) \ge r$。
公式：B x_i = e_i
提示：这里利用了 $\beta_j^T x_i$ 是标量，且 $\beta_j^T x_i = \delta_{ij}$（Kronecker delta）。
步骤 4/5
目标：充分性：综合得出秩等于 r
由 $r(A) \le r$ 和 $r(A) \ge r$ 可得 $r(A)=r$。
提示：注意等号成立的条件。
步骤 5/5
目标：结论总结
因此，$r(A)=r$ 当且仅当存在两个线性无关的向量组 $\alpha_1,\dots,\alpha_r$ 和 $\beta_1,\dots,\beta_r$ 使得 $A = \sum_{i=1}^r \alpha_i \beta_i^T$。
提示：注意向量组的线性无关性在充分性和必要性中都是关键。
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