湖南大学 2024年高等代数第8题
📝 题目
8．设 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)$ 为 3 阶实正定对称矩阵，且 $\displaystyle a_{i j} \in\{-1,0,1\}$ ，求矩阵 $A$ ，并证明你的结论．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：设定矩阵形式并确定对角元
设 $A$ 为3阶实对称矩阵，且元素 $a_{ij} \in \{-1,0,1\}$。由于 $A$ 正定，所有顺序主子式大于0，特别地，一阶顺序主子式 $a_{11}>0$，又 $a_{11} \in \{-1,0,1\}$，故 $a_{11}=1$。同理，$a_{22}=1$，$a_{33}=1$。因此可设 $A = \begin{pmatrix} 1 & b & c \\ b & 1 & e \\ c & e & 1 \end{pmatrix}$，其中 $b,c,e \in \{-1,0,1\}$。
公式：正定矩阵的顺序主子式大于0
提示：注意对角元必须为正，且只能取1，不能取0或-1。
步骤 2/5
目标：利用二阶顺序主子式确定b
计算二阶顺序主子式：$\begin{vmatrix} 1 & b \\ b & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot 1 - b^2 = 1 - b^2 > 0$。因此 $b^2 < 1$，结合 $b \in \{-1,0,1\}$，得 $b=0$。
公式：$\begin{vmatrix} a & b \\ b & d \end{vmatrix} = ad - b^2$
提示：注意二阶顺序主子式必须严格大于0，不能等于0。
步骤 3/5
目标：利用三阶顺序主子式确定c和e
计算三阶顺序主子式（即行列式）：$\det A = \begin{vmatrix} 1 & 0 & c \\ 0 & 1 & e \\ c & e & 1 \end{vmatrix}$。按第一行展开：$\det A = 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & e \\ e & 1 \end{vmatrix} - 0 \cdot \begin{vmatrix} 0 & e \\ c & 1 \end{vmatrix} + c \cdot \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ c & e \end{vmatrix} = (1 - e^2) + c(0 - c) = 1 - e^2 - c^2 > 0$。
公式：行列式展开公式
提示：注意展开时符号：$(-1)^{1+3}=1$，但第二项系数为0。
步骤 4/5
目标：解不等式确定c和e
由 $1 - e^2 - c^2 > 0$ 得 $e^2 + c^2 < 1$。由于 $c,e \in \{-1,0,1\}$，$e^2$ 和 $c^2$ 只能为0或1。要使和小于1，必须 $e^2=0$ 且 $c^2=0$，即 $c=0$，$e=0$。
公式：不等式 $e^2 + c^2 < 1$
提示：注意 $c$ 和 $e$ 的平方只能取0或1，和小于1的唯一可能是两者均为0。
步骤 5/5
目标：得出矩阵并验证
因此 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$，即单位矩阵。验证：单位矩阵对称，所有顺序主子式均为1>0，故正定；元素属于 $\{-1,0,1\}$。所以满足条件的矩阵唯一。
提示：验证正定性时，需检查所有顺序主子式是否大于0。
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