湖南大学 2025年高等代数第1题
📝 题目
1．设非零多项式 $\displaystyle f(x), g(x) \in K[x], k$ 为正整数，满足
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(k+1) \operatorname{deg}(g(x))>\operatorname{deg}(f(x)) \geq k \operatorname{deg}(g(x))
$$
证明：存在 $\displaystyle p_{0}(x), p_{1}(x), \cdots, p_{k}(x) \in K[x]$ ，满足 $\displaystyle \operatorname{deg}\left(p_{i}(x)\right)<\operatorname{deg}(g(x))$ 或 $\displaystyle p_{i}(x)=0$ ，使得
$$
f(x)=p_{0}(x)+p_{1}(x) g(x)+\cdots+p_{k}(x) g^{k}(x)
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：理解题目条件和目标
题目给出非零多项式 $f(x), g(x) \in K[x]$，$k$ 为正整数，满足 $(k+1)\deg(g(x)) > \deg(f(x)) \geq k\deg(g(x))$。要证明存在多项式 $p_0(x), p_1(x), \dots, p_k(x) \in K[x]$，每个 $p_i(x)$ 的次数小于 $\deg(g(x))$ 或为零，使得 $f(x) = \sum_{i=0}^k p_i(x) g^i(x)$。这类似于将 $f$ 按 $g$ 的幂展开，且系数多项式次数受限于 $\deg(g)$。
提示：注意条件中的严格不等式和不等号方向，确保理解 $\deg(f)$ 的范围。
步骤 2/7
目标：基始情况：k=0
当 $k=0$ 时，条件变为 $\deg(g(x)) > \deg(f(x)) \geq 0$，即 $\deg(f(x)) < \deg(g(x))$。取 $p_0(x) = f(x)$，则 $\deg(p_0) < \deg(g)$，且 $f(x) = p_0(x)$，结论成立。
提示：基始是归纳法的基础，注意 $k=0$ 时条件退化为 $\deg(f) < \deg(g)$。
步骤 3/7
目标：归纳假设：假设对k-1成立
假设结论对 $k-1$ 成立，即对于任意满足 $k\deg(g) > \deg(h) \geq (k-1)\deg(g)$ 的多项式 $h(x)$，存在 $p_0,\dots,p_{k-1}$ 满足条件使得 $h = \sum_{i=0}^{k-1} p_i g^i$。现在考虑 $k$ 的情形。
提示：归纳假设中要明确条件形式，注意次数范围。
步骤 4/7
目标：对f(x)除以g^k(x)得到商和余式
对 $f(x)$ 除以 $g^k(x)$，由带余除法，存在多项式 $q(x), r(x)$ 使得 $f(x) = q(x) g^k(x) + r(x)$，且 $\deg(r) < \deg(g^k) = k\deg(g)$。由于 $\deg(f) \geq k\deg(g)$，故 $q(x) \neq 0$。
公式：f(x) = q(x) g^k(x) + r(x), \quad \deg(r) < k\deg(g)
提示：带余除法中余式次数严格小于除式次数，这里除式是 $g^k$。
步骤 5/7
目标：确定商q(x)的次数范围
由 $\deg(f) < (k+1)\deg(g)$ 和 $\deg(r) < k\deg(g)$，有 $\deg(q) + k\deg(g) = \deg(q g^k) \leq \max\{\deg(f), \deg(r)\} < (k+1)\deg(g)$，因此 $\deg(q) < \deg(g)$。令 $p_k(x) = q(x)$，则 $\deg(p_k) < \deg(g)$。
公式：\deg(q) + k\deg(g) < (k+1)\deg(g) \Rightarrow \deg(q) < \deg(g)
提示：注意 $\deg(q g^k) = \deg(q) + k\deg(g)$ 当 $q \neq 0$。
步骤 6/7
目标：对余式r(x)应用归纳假设
余式 $r(x)$ 满足 $\deg(r) < k\deg(g)$。若 $\deg(r) \geq (k-1)\deg(g)$，则 $k\deg(g) > \deg(r) \geq (k-1)\deg(g)$，符合归纳假设的条件；若 $\deg(r) < (k-1)\deg(g)$，则 $\deg(r) \leq (k-1)\deg(g) - 1$，也满足归纳假设（因为条件只要求下界，更小的次数自动满足）。因此由归纳假设，存在 $p_0,\dots,p_{k-1}$，每个次数小于 $\deg(g)$ 或为零，使得 $r(x) = \sum_{i=0}^{k-1} p_i(x) g^i(x)$。
公式：r(x) = \sum_{i=0}^{k-1} p_i(x) g^i(x)
提示：注意归纳假设的条件是 $\deg(r) \geq (k-1)\deg(g)$ 或更小，但更小的情况也成立，因为可以取更高次项系数为零。
步骤 7/7
目标：合并得到f(x)的展开式
将 $r(x)$ 的表达式代入 $f(x) = q(x) g^k(x) + r(x)$，得到 $f(x) = \sum_{i=0}^{k-1} p_i(x) g^i(x) + p_k(x) g^k(x)$，其中 $p_k(x) = q(x)$。所有 $p_i$ 的次数均小于 $\deg(g)$ 或为零。由数学归纳法，结论对任意正整数 $k$ 成立。
公式：f(x) = \sum_{i=0}^k p_i(x) g^i(x)
提示：注意 $p_k$ 已经由 $q$ 定义，且次数满足条件。
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