📝 湖南大学 2025年高等代数真题
第1题
1．设非零多项式 $\displaystyle f(x), g(x) \in K[x], k$ 为正整数，满足
$$
(k+1) \operatorname{deg}(g(x))>\operatorname{deg}(f(x)) \geq k \operatorname{deg}(g(x))
$$
证明：存在 $\displaystyle p_{0}(x), p_{1}(x), \cdots, p_{k}(x) \in K[x]$ ，满足 $\displaystyle \operatorname{deg}\left(p_{i}(x)\right)<\operatorname{deg}(g(x))$ 或 $\displaystyle p_{i}(x)=0$ ，使得
$$
f(x)=p_{0}(x)+p_{1}(x) g(x)+\cdots+p_{k}(x) g^{k}(x)
$$
$$
(k+1) \operatorname{deg}(g(x))>\operatorname{deg}(f(x)) \geq k \operatorname{deg}(g(x))
$$
证明：存在 $\displaystyle p_{0}(x), p_{1}(x), \cdots, p_{k}(x) \in K[x]$ ，满足 $\displaystyle \operatorname{deg}\left(p_{i}(x)\right)<\operatorname{deg}(g(x))$ 或 $\displaystyle p_{i}(x)=0$ ，使得
$$
f(x)=p_{0}(x)+p_{1}(x) g(x)+\cdots+p_{k}(x) g^{k}(x)
$$
第2题
2．求解线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{c}
x_{1}+2 x_{2}+\cdots+n x_{n}=n+1 \\
x_{1}+2^{2} x_{2}+\cdots+n^{2} x_{n}=(n+1)^{2} \\
\cdots \cdots \\
x_{1}+2^{n} x_{2}+\cdots+n^{n} x_{n}=(n+1)^{n}
\end{array}\right.
$$
$$
\left\{\begin{array}{c}
x_{1}+2 x_{2}+\cdots+n x_{n}=n+1 \\
x_{1}+2^{2} x_{2}+\cdots+n^{2} x_{n}=(n+1)^{2} \\
\cdots \cdots \\
x_{1}+2^{n} x_{2}+\cdots+n^{n} x_{n}=(n+1)^{n}
\end{array}\right.
$$
第3题
3．给定向量组
$$
\alpha_{1}=(*, *, *, *, *), \alpha_{2}=(*, *, *, *, *), \alpha_{3}=(*, *, *, *, *), \beta_{1}=(*, *, *, *, *), \beta_{2}=(*, *, *, *, *)
$$
记 $\displaystyle V_{1}=L\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right), V_{2}=L\left(\beta_{1}, \beta_{2}\right)$ ，求 $\displaystyle V_{1}+V_{2}$ 与 $\displaystyle V_{1} \cap V_{2}$ 的一组基和维数．
$$
\alpha_{1}=(*, *, *, *, *), \alpha_{2}=(*, *, *, *, *), \alpha_{3}=(*, *, *, *, *), \beta_{1}=(*, *, *, *, *), \beta_{2}=(*, *, *, *, *)
$$
记 $\displaystyle V_{1}=L\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right), V_{2}=L\left(\beta_{1}, \beta_{2}\right)$ ，求 $\displaystyle V_{1}+V_{2}$ 与 $\displaystyle V_{1} \cap V_{2}$ 的一组基和维数．
第4题
4．对于 $n$ 阶实对称矩阵 $A$ ，存在 $\displaystyle Y \in \mathbb{R}^{n}$ 使得 $\displaystyle Y^{T} A Y>0$ ．证明：对任意的 $\displaystyle X \in \mathbb{R}^{n}$ ，有
$$
\left(X^{T} A Y\right)^{2} \geq\left(X^{T} A X\right)\left(Y^{T} A Y\right)
$$
的充要条件是 $\displaystyle X^{T} A X$ 的正惯性指数等于 1 ．
$$
\left(X^{T} A Y\right)^{2} \geq\left(X^{T} A X\right)\left(Y^{T} A Y\right)
$$
的充要条件是 $\displaystyle X^{T} A X$ 的正惯性指数等于 1 ．
第5题
5．设 $\displaystyle V=\mathbb{R}^{2 \times 2}, V$ 上的线性变换 $\displaystyle \varphi$ 满足 $\displaystyle \varphi(X)=A^{T} X A, X \in V$ ，其中
$$
A=\left(\begin{array}{ll}
1 & 1 \\
0 & 1
\end{array}\right)
$$
求 $V$ 中的一组基，使得 $\displaystyle \varphi$ 在这组基下的矩阵为若尔当形矩阵。
$$
A=\left(\begin{array}{ll}
1 & 1 \\
0 & 1
\end{array}\right)
$$
求 $V$ 中的一组基，使得 $\displaystyle \varphi$ 在这组基下的矩阵为若尔当形矩阵。
第6题
6．设 $A$ 是 $n$ 阶实矩阵，且 $\displaystyle \operatorname{det}(A)=0$ ，证明：$\displaystyle r(A)=n-1$ 当且仅当存在列向量 $\displaystyle X, Y \in \mathbb{R}^{n}$ ，使得
$$
\operatorname{det}\left(A+X Y^{T}\right) \neq 0
$$
$$
\operatorname{det}\left(A+X Y^{T}\right) \neq 0
$$
第7题
7．设 $\displaystyle A, B$ 均为数域 $K$ 上的 $n$ 阶方阵．若存在数域 $K$ 上的 $n$ 阶可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A P$ 为上三角矩阵，则称 $A$ 在数域 $K$ 上可相似上三角化．证明：
（1）数域 $K$ 上的矩阵 $A$ 可相似上三角化的充要条件是 $A$ 的所有复特征值都在数域 $K$ 中．
（2）若数域 $K$ 上的矩阵 $\displaystyle A, B$ 均可相似上三角化，且 $\displaystyle A B=B A$ ，则 $\displaystyle A, B$ 可同时相似上三角化，即存在可逆矩阵 $Q$ ，使得 $\displaystyle Q^{-1} A Q, Q^{-1} B Q$ 同时为上三角矩阵。
（3）若 $\displaystyle A B=B A$ ，其中 $B$ 还是幂零矩阵，证明： $\displaystyle \operatorname{det}(A)=\operatorname{det}(A+B)$ ．
（1）数域 $K$ 上的矩阵 $A$ 可相似上三角化的充要条件是 $A$ 的所有复特征值都在数域 $K$ 中．
（2）若数域 $K$ 上的矩阵 $\displaystyle A, B$ 均可相似上三角化，且 $\displaystyle A B=B A$ ，则 $\displaystyle A, B$ 可同时相似上三角化，即存在可逆矩阵 $Q$ ，使得 $\displaystyle Q^{-1} A Q, Q^{-1} B Q$ 同时为上三角矩阵。
（3）若 $\displaystyle A B=B A$ ，其中 $B$ 还是幂零矩阵，证明： $\displaystyle \operatorname{det}(A)=\operatorname{det}(A+B)$ ．
第8题
8．实矩阵 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}$ 满足 $\displaystyle a_{i i}>0, a_{i j}=-a_{j i}(i \neq j)$ ，证明： $\displaystyle \operatorname{det}(A)>0$ ．
第9题
9．设 $\displaystyle \mathscr{A}$ 为数域 $F$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，令
$$
V_{1}=\left\{\alpha \in V \mid \text { 存在正整数 } r \text {, 使得 } \mathscr{A}^{r}(\alpha)=0\right\}, V_{2}=\bigcap_{i=1}^{\infty} \mathscr{A}^{i}(V) \text {. }
$$
证明：
（1）$\displaystyle V_{1}$ 和 $\displaystyle V_{2}$ 都是 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的不变子空间。
（2） $\displaystyle \mathscr{A}$ 限制在 $\displaystyle V_{1}$ 上是幂零变换．
（3） $\displaystyle \mathscr{A}$ 限制在 $\displaystyle V_{2}$ 上是可逆变换．
（4）$\displaystyle V=V_{1} \oplus V_{2}$ ．
$$
V_{1}=\left\{\alpha \in V \mid \text { 存在正整数 } r \text {, 使得 } \mathscr{A}^{r}(\alpha)=0\right\}, V_{2}=\bigcap_{i=1}^{\infty} \mathscr{A}^{i}(V) \text {. }
$$
证明：
（1）$\displaystyle V_{1}$ 和 $\displaystyle V_{2}$ 都是 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的不变子空间。
（2） $\displaystyle \mathscr{A}$ 限制在 $\displaystyle V_{1}$ 上是幂零变换．
（3） $\displaystyle \mathscr{A}$ 限制在 $\displaystyle V_{2}$ 上是可逆变换．
（4）$\displaystyle V=V_{1} \oplus V_{2}$ ．