湖南大学 2025年高等代数第3题

给定向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \beta_1, \beta_2$ 均为 $\mathbb{R}^5$ 中的向量，但具体分量未知。定义 $V_1 = L(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3)$ 为 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 生成的子空间，$V_2 = L(\beta_1, \beta_2)$ 为 $\beta_1, \beta_2$ 生成的子空间。需要求 $V_1 + V_2$ 与 $V_1 \cap V_2$ 的一组基和维数。

由于 $V_1+V_2 = L(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \beta_1, \beta_2)$，只需找出这5个向量的极大线性无关组。构造矩阵 $A = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \beta_1, \beta_2)$，即按列排列。对 $A$ 进行初等行变换化为行最简形矩阵。行最简形中主元列对应的原向量即为 $V_1+V_2$ 的一组基，主元个数即为维数。

设 $x \in V_1 \cap V_2$，则存在系数 $k_1, k_2, k_3$ 和 $l_1, l_2$ 使得 $x = k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + k_3\alpha_3 = l_1\beta_1 + l_2\beta_2$。移项得 $k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + k_3\alpha_3 - l_1\beta_1 - l_2\beta_2 = 0$。这是一个关于未知数 $k_1, k_2, k_3, l_1, l_2$ 的齐次线性方程组。解此方程组，设系数矩阵为 $B = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, -\beta_1, -\beta_2)$，对 $B$ 进行初等行变换求基础解系。基础解系中向量个数即为 $V_1 \cap V_2$ 的维数。

设齐次线性方程组的基础解系为 $\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_t$，其中每个 $\xi_i = (k_1^{(i)}, k_2^{(i)}, k_3^{(i)}, l_1^{(i)}, l_2^{(i)})^T$。则 $V_1 \cap V_2$ 中的向量可表示为 $x = k_1^{(i)}\alpha_1 + k_2^{(i)}\alpha_2 + k_3^{(i)}\alpha_3$（或等价地 $l_1^{(i)}\beta_1 + l_2^{(i)}\beta_2$）。这些 $x$ 构成 $V_1 \cap V_2$ 的一组基。注意需验证这些 $x$ 线性无关。

由于题目未给出具体向量，最终结果依赖于具体数值。一般地： - $V_1+V_2$ 的维数等于矩阵 $(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \beta_1, \beta_2)$ 的秩，基为行最简形中主元列对应的原向量。 - $V_1 \cap V_2$ 的维数等于齐次线性方程组 $k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + k_3\alpha_3 - l_1\beta_1 - l_2\beta_2 = 0$ 的基础解系中向量个数，基由基础解系代入 $x$ 表达式得到。