湖南大学 2025年高等代数第9题
📝 题目
9．设 $\displaystyle \mathscr{A}$ 为数域 $F$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，令
$$
V_{1}=\left\{\alpha \in V \mid \text { 存在正整数 } r \text {, 使得 } \mathscr{A}^{r}(\alpha)=0\right\}, V_{2}=\bigcap_{i=1}^{\infty} \mathscr{A}^{i}(V) \text {. }
$$
证明：
（1）$\displaystyle V_{1}$ 和 $\displaystyle V_{2}$ 都是 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的不变子空间。
（2） $\displaystyle \mathscr{A}$ 限制在 $\displaystyle V_{1}$ 上是幂零变换．
（3） $\displaystyle \mathscr{A}$ 限制在 $\displaystyle V_{2}$ 上是可逆变换．
（4）$\displaystyle V=V_{1} \oplus V_{2}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：证明V1是A的不变子空间
任取α∈V1，存在正整数r使得A^r(α)=0。则A^r(Aα)=A^{r+1}(α)=A(A^r(α))=A(0)=0，所以Aα∈V1。故V1是A的不变子空间。
公式：A^r(Aα)=A^{r+1}(α)=0
提示：注意A^r(α)=0时，Aα的幂零指数可能不同，但只需存在某个正整数使A^r(Aα)=0即可。
步骤 2/8
目标：证明V2是A的不变子空间
任取α∈V2=∩_{i=1}^∞ A^i(V)，则对任意正整数i，存在β_i∈V使得α=A^i(β_i)。于是Aα=A^{i+1}(β_i)∈A^{i+1}(V)。由于i任意，Aα∈∩_{i=1}^∞ A^i(V)=V2。故V2也是A的不变子空间。
公式：Aα=A^{i+1}(β_i)∈A^{i+1}(V)
提示：注意V2的定义是无限交，需说明对每个i，Aα属于A^{i+1}(V)，从而属于交。
步骤 3/8
目标：证明A限制在V1上是幂零变换
由V1定义，对任意α∈V1，存在正整数r使得A^r(α)=0。由于V1是有限维子空间，设dim V1=m，取一组基，每个基向量对应一个幂零指数，取最大者k，则对任意α∈V1，A^k(α)=0。因此A|_{V1}是幂零变换。
公式：A^k(α)=0, ∀α∈V1
提示：有限维保证存在统一的幂零指数k，需说明基向量幂零指数的最大值存在。
步骤 4/8
目标：证明A限制在V2上是单射
设α∈V2且Aα=0。由于α∈V2=∩_{i=1}^∞ A^i(V)，对任意i，存在β_i∈V使得α=A^i(β_i)。则0=Aα=A^{i+1}(β_i)，所以β_i∈V1。于是α=A^i(β_i)且β_i∈V1。由(2)知存在k使得A^k(β_i)=0，从而A^{i+k}(β_i)=0，即A^k(α)=0，故α∈V1∩V2。下面将证明V1∩V2={0}，从而α=0，即A|_{V2}是单射。
公式：Aα=0 ⇒ α∈V1∩V2
提示：需利用后续结论V1∩V2={0}，此处先证明单射性依赖于该结论。
步骤 5/8
目标：证明A限制在V2上是满射
由于A|_{V2}是单射，且V2是有限维空间，单射线性变换必为满射，因此A|_{V2}是可逆变换。
公式：单射+有限维⇒满射
提示：注意有限维线性空间上单射等价于满射，从而可逆。
步骤 6/8
目标：证明V1∩V2={0}
设α∈V1∩V2。由α∈V1，存在r使得A^r(α)=0。由α∈V2，存在β∈V使得α=A^r(β)（因为α∈A^r(V)）。于是0=A^r(α)=A^{2r}(β)，所以β∈V1。从而α=A^r(β)∈A^r(V1)。由于A|_{V1}幂零，存在k使得A^k=0在V1上，取r≥k，则A^r(V1)=0，故α=0。
公式：α=A^r(β), β∈V1 ⇒ α=0
提示：需注意r可能小于k，但可调整：取足够大的r（如取r≥k），因为α∈V2保证对任意r成立。
步骤 7/8
目标：证明V=V1+V2
考虑子空间链V⊇A(V)⊇A^2(V)⊇⋯。由于维数有限，存在m使得A^m(V)=A^{m+1}(V)=⋯=V2。对任意α∈V，A^m(α)∈V2，且存在γ∈V使得A^m(α)=A^{2m}(γ)（因为A^m(V)=A^{2m}(V)）。则α-A^m(γ)∈ker A^m⊆V1（因为若A^m(η)=0，则η∈V1）。于是α=A^m(γ)+(α-A^m(γ))∈V2+V1。故V=V1+V2。
公式：α=A^m(γ)+(α-A^m(γ))
提示：需说明ker A^m⊆V1：若A^m(η)=0，则η∈V1。
步骤 8/8
目标：总结直和分解
由V1∩V2={0}和V=V1+V2，得V=V1⊕V2。
公式：V=V1⊕V2
提示：直和分解成立需同时满足交为0与和为全空间。
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