湖南大学 2025年高等代数第8题
📝 题目
8．实矩阵 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}$ 满足 $\displaystyle a_{i i}>0, a_{i j}=-a_{j i}(i \neq j)$ ，证明： $\displaystyle \operatorname{det}(A)>0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：分解矩阵A为对角矩阵和反对称矩阵之和
设 $A$ 为 $n$ 阶实矩阵，满足 $a_{ii}>0$，且 $a_{ij}=-a_{ji}$ 对 $i\neq j$。则 $A$ 可写为 $A = D + S$，其中 $D = \operatorname{diag}(a_{11}, a_{22}, \dots, a_{nn})$ 是对角线为正数的对角矩阵，$S$ 是反对称矩阵（$S^T = -S$）。
提示：注意反对称矩阵的定义：$S^T = -S$，且对角线元素为零。
步骤 2/7
目标：构造相似变换矩阵B
考虑矩阵 $B = D^{-1/2} A D^{-1/2}$，其中 $D^{-1/2} = \operatorname{diag}(a_{11}^{-1/2}, \dots, a_{nn}^{-1/2})$。则
\[ B = D^{-1/2} (D+S) D^{-1/2} = I + D^{-1/2} S D^{-1/2}. \]
提示：确保 $D^{-1/2}$ 存在，因为 $a_{ii}>0$。
步骤 3/7
目标：证明K是反对称矩阵
记 $K = D^{-1/2} S D^{-1/2}$。由于 $D^{-1/2}$ 是对角矩阵，转置不变，且 $S^T = -S$，则
\[ K^T = (D^{-1/2} S D^{-1/2})^T = D^{-1/2} S^T D^{-1/2} = -D^{-1/2} S D^{-1/2} = -K. \]
因此 $K$ 是反对称矩阵。
提示：注意矩阵转置的性质：$(ABC)^T = C^T B^T A^T$。
步骤 4/7
目标：证明B是正定矩阵
对于任意实向量 $x \neq 0$，有
\[ x^T B x = x^T (I+K) x = x^T x + x^T K x. \]
由于 $K$ 反对称，$x^T K x$ 是一个标量，其转置等于自身：$(x^T K x)^T = x^T K^T x = -x^T K x$，因此 $x^T K x = 0$。所以 $x^T B x = x^T x > 0$，即 $B$ 是正定矩阵。
提示：反对称矩阵的二次型为零，这是关键性质。
步骤 5/7
目标：利用正定矩阵行列式大于零
正定矩阵的行列式大于零，故 $\det(B) > 0$。
提示：正定矩阵的所有特征值大于零，因此行列式大于零。
步骤 6/7
目标：计算det(B)与det(A)的关系
计算行列式：
\[ \det(B) = \det(D^{-1/2}) \det(A) \det(D^{-1/2}) = (\det(D^{-1/2}))^2 \det(A) = \frac{\det(A)}{\prod_{i=1}^n a_{ii}}. \]
因为 $\det(D^{-1/2}) = \prod_{i=1}^n a_{ii}^{-1/2}$，所以 $(\det(D^{-1/2}))^2 = \frac{1}{\prod_{i=1}^n a_{ii}}$。
提示：注意行列式的乘法性质：$\det(AB) = \det(A)\det(B)$。
步骤 7/7
目标：得出结论
由于 $\det(B) > 0$ 且分母 $\prod_{i=1}^n a_{ii} > 0$，因此 $\det(A) > 0$。
提示：确保分母为正，因为 $a_{ii}>0$。
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