湖南大学 2025年高等代数第7题
📝 题目
7．设 $\displaystyle A, B$ 均为数域 $K$ 上的 $n$ 阶方阵．若存在数域 $K$ 上的 $n$ 阶可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A P$ 为上三角矩阵，则称 $A$ 在数域 $K$ 上可相似上三角化．证明：
（1）数域 $K$ 上的矩阵 $A$ 可相似上三角化的充要条件是 $A$ 的所有复特征值都在数域 $K$ 中．
（2）若数域 $K$ 上的矩阵 $\displaystyle A, B$ 均可相似上三角化，且 $\displaystyle A B=B A$ ，则 $\displaystyle A, B$ 可同时相似上三角化，即存在可逆矩阵 $Q$ ，使得 $\displaystyle Q^{-1} A Q, Q^{-1} B Q$ 同时为上三角矩阵。
（3）若 $\displaystyle A B=B A$ ，其中 $B$ 还是幂零矩阵，证明： $\displaystyle \operatorname{det}(A)=\operatorname{det}(A+B)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：证明（1）的必要性
若 $A$ 在数域 $K$ 上可相似上三角化，则存在可逆矩阵 $P$ 使得 $P^{-1}AP$ 为上三角矩阵，其对角元为 $A$ 的特征值，且均在 $K$ 中。由于上三角矩阵的特征值即对角元，故 $A$ 的所有特征值都在 $K$ 中。
提示：注意上三角矩阵的特征值就是对角元，且相似变换不改变特征值。
步骤 2/7
目标：证明（1）的充分性
若 $A$ 的所有复特征值都在 $K$ 中，则 $A$ 在复数域上可相似上三角化，但需证明可在 $K$ 上实现。通过归纳法：取 $A$ 的一个特征值 $\lambda \in K$，对应特征向量 $v$，扩充为 $K$ 上的基，则 $A$ 在商空间上的限制的特征值仍为 $A$ 的特征值，由归纳假设可得上三角化。
提示：归纳法的关键在于商空间上的限制的特征值仍是原矩阵的特征值，且都在 $K$ 中。
步骤 3/7
目标：证明（2）的准备工作
由（1），$A$、$B$ 均可相似上三角化，且 $AB=BA$。首先，存在可逆矩阵 $P$ 使得 $P^{-1}AP$ 为上三角矩阵，记为 $A'$。由于 $B$ 与 $A$ 可交换，则 $B'=P^{-1}BP$ 与 $A'$ 可交换。
提示：注意交换性在相似变换下保持：$P^{-1}ABP = P^{-1}APP^{-1}BP = A'B'$，且 $P^{-1}BAP = B'A'$，由 $AB=BA$ 得 $A'B'=B'A'$。
步骤 4/7
目标：证明（2）的归纳步骤
对 $A'$ 进行分块：$A' = \begin{pmatrix} a_{11} & * \\ 0 & A_{22} \end{pmatrix}$，$B' = \begin{pmatrix} b_{11} & * \\ 0 & B_{22} \end{pmatrix}$。由 $A'B'=B'A'$ 得 $A_{22}B_{22}=B_{22}A_{22}$，且 $A_{22}$ 的特征值仍在 $K$ 中。由归纳假设，存在 $Q_2$ 使得 $Q_2^{-1}A_{22}Q_2$ 和 $Q_2^{-1}B_{22}Q_2$ 均为上三角，则取 $Q = P \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & Q_2 \end{pmatrix}$ 即可。
提示：注意分块后，左上角元素 $a_{11}$ 和 $b_{11}$ 是数，交换性给出 $a_{11}b_{11}=b_{11}a_{11}$，自然成立，但还需考虑右上角块的关系，不过归纳中只需处理右下角块。
步骤 5/7
目标：证明（3）的准备工作
由（2），存在可逆矩阵 $Q$ 使得 $Q^{-1}AQ$ 和 $Q^{-1}BQ$ 均为上三角矩阵。设 $Q^{-1}AQ = \begin{pmatrix} \lambda_1 & * \\ & \ddots \\ 0 & \lambda_n \end{pmatrix}$，$Q^{-1}BQ = \begin{pmatrix} \mu_1 & * \\ & \ddots \\ 0 & \mu_n \end{pmatrix}$。
提示：注意上三角矩阵的对角元就是特征值。
步骤 6/7
目标：利用幂零性得出 $\mu_i=0$
由于 $B$ 是幂零矩阵，其特征值全为 $0$，故 $\mu_i = 0$。因此 $Q^{-1}(A+B)Q = \begin{pmatrix} \lambda_1 & * \\ & \ddots \\ 0 & \lambda_n \end{pmatrix}$，其对角元与 $Q^{-1}AQ$ 相同。
提示：幂零矩阵的特征值全为零，这是关键。
步骤 7/7
目标：计算行列式并得出结论
由于相似变换不改变行列式，故 $\det(A+B) = \det(Q^{-1}(A+B)Q) = \prod_{i=1}^n \lambda_i = \det(Q^{-1}AQ) = \det(A)$。
公式：\det(A+B) = \det(A)
提示：注意上三角矩阵的行列式等于对角元的乘积。
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