湖南大学 2025年高等代数第6题
📝 题目
6．设 $A$ 是 $n$ 阶实矩阵，且 $\displaystyle \operatorname{det}(A)=0$ ，证明：$\displaystyle r(A)=n-1$ 当且仅当存在列向量 $\displaystyle X, Y \in \mathbb{R}^{n}$ ，使得
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\operatorname{det}\left(A+X Y^{T}\right) \neq 0
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：理解题目条件和目标
已知 $A$ 是 $n$ 阶实矩阵，且 $\det(A)=0$。要证明 $r(A)=n-1$ 当且仅当存在列向量 $X, Y \in \mathbb{R}^n$ 使得 $\det(A+XY^T) \neq 0$。
提示：注意 $\det(A)=0$ 是前提，$r(A)$ 表示矩阵的秩。
步骤 2/7
目标：必要性：由 $r(A)=n-1$ 推出存在 $X,Y$ 使行列式非零
设 $r(A)=n-1$，则 $A$ 的零空间维数为 $1$，存在非零向量 $X$ 使得 $AX=0$。由于 $r(A)=n-1$，其伴随矩阵 $A^*$ 的秩为 $1$，且存在非零向量 $Y$ 使得 $A^* = \alpha Y X^T$（其中 $\alpha \neq 0$）。
公式：矩阵行列式引理：$\det(A+XY^T) = \det(A) + Y^T \operatorname{adj}(A) X$
提示：伴随矩阵的秩为1时，可表示为两个向量的乘积形式。
步骤 3/7
目标：必要性：计算行列式并证明非零
由矩阵行列式引理：$\det(A+XY^T) = \det(A) + Y^T \operatorname{adj}(A) X = 0 + Y^T (\alpha Y X^T) X = \alpha (Y^T Y)(X^T X)$。因为 $X, Y \neq 0$，所以 $Y^T Y > 0$，$X^T X > 0$，且 $\alpha \neq 0$，故 $\det(A+XY^T) \neq 0$。
公式：$\det(A+XY^T) = \alpha (Y^T Y)(X^T X)$
提示：注意 $Y^T Y$ 和 $X^T X$ 是正数，$\alpha$ 非零。
步骤 4/7
目标：充分性：假设存在 $X,Y$ 使行列式非零，要证 $r(A)=n-1$
已知存在 $X,Y$ 使得 $\det(A+XY^T) \neq 0$，即 $A+XY^T$ 可逆。假设 $r(A) \leq n-2$，则 $A$ 的零空间维数至少为 $2$。
提示：反证法，假设 $r(A) \leq n-2$。
步骤 5/7
目标：充分性：构造矛盾
取非零向量 $Z$ 与 $X$ 线性无关且满足 $AZ=0$（因为零空间维数至少为2，可以选取这样的 $Z$）。则 $(A+XY^T)Z = AZ + X(Y^T Z) = X(Y^T Z)$。由于 $Z$ 与 $X$ 线性无关，可选取 $Z$ 使得 $Y^T Z = 0$（因为 $Y^T$ 是线性函数，其零空间维数为 $n-1$，而 $X$ 的零空间维数为 $n-1$，存在非零向量同时属于两个零空间且与 $X$ 无关）。于是 $(A+XY^T)Z=0$，与 $A+XY^T$ 可逆矛盾。
提示：注意 $Z$ 的选取：需要 $AZ=0$ 且 $Y^T Z=0$，且 $Z$ 与 $X$ 线性无关。
步骤 6/7
目标：充分性：得出秩为 $n-1$
由矛盾知 $r(A) \geq n-1$，又 $\det(A)=0$ 故 $r(A) \leq n-1$，因此 $r(A)=n-1$。
提示：秩不能超过 $n-1$ 因为行列式为0。
步骤 7/7
目标：总结
综上，$r(A)=n-1$ 当且仅当存在 $X,Y \in \mathbb{R}^n$ 使得 $\det(A+XY^T) \neq 0$。
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