湖南大学 2025年高等代数第4题

已知 $A$ 是 $n$ 阶实对称矩阵，且存在 $Y \in \mathbb{R}^n$ 使得 $Y^T A Y > 0$。要证明：对任意 $X \in \mathbb{R}^n$，有 $(X^T A Y)^2 \geq (X^T A X)(Y^T A Y)$ 的充要条件是 $X^T A X$ 的正惯性指数等于 1。

假设对任意 $X \in \mathbb{R}^n$，有 $(X^T A Y)^2 \geq (X^T A X)(Y^T A Y)$。特别地，取 $X$ 使得 $X^T A Y = 0$，则 $0 \geq (X^T A X)(Y^T A Y)$。由于 $Y^T A Y > 0$，可得 $X^T A X \leq 0$。因此，在子空间 $\{X \mid X^T A Y = 0\}$ 上，$f(X) \leq 0$。这意味着 $f$ 的正惯性指数至多为 1。又因为存在 $Y$ 使得 $f(Y) > 0$，所以正惯性指数至少为 1。故正惯性指数等于 1。

假设 $f$ 的正惯性指数为 1。则存在非退化线性替换 $X = PZ$，使得 $f(X) = z_1^2 - z_2^2 - \cdots - z_n^2$，其中 $P$ 可逆。记 $Z = (z_1, \dots, z_n)^T$，且 $Y$ 对应 $Z_0 = P^{-1} Y$。由 $Y^T A Y > 0$ 得 $z_{01}^2 - \sum_{i=2}^n z_{0i}^2 > 0$，故 $z_{01} \neq 0$。

对任意 $X$，设 $Z = P^{-1} X$，则 \[ X^T A X = z_1^2 - \sum_{i=2}^n z_i^2, \quad Y^T A Y = z_{01}^2 - \sum_{i=2}^n z_{0i}^2, \quad X^T A Y = z_1 z_{01} - \sum_{i=2}^n z_i z_{0i}. \] 需要证明 $(z_1 z_{01} - \sum_{i=2}^n z_i z_{0i})^2 \geq (z_1^2 - \sum_{i=2}^n z_i^2)(z_{01}^2 - \sum_{i=2}^n z_{0i}^2)$。

考虑 Lorentz 空间中的 Cauchy-Schwarz 不等式：对于向量 $u = (z_1, z_2, \dots, z_n)$ 和 $v = (z_{01}, z_{02}, \dots, z_{0n})$，定义内积 $\langle u, v \rangle = z_1 z_{01} - \sum_{i=2}^n z_i z_{0i}$，则不等式 $(\langle u, v \rangle)^2 \geq \langle u, u \rangle \langle v, v \rangle$ 成立，当且仅当 $u$ 与 $v$ 线性相关时取等。这里 $\langle u, u \rangle = z_1^2 - \sum_{i=2}^n z_i^2$，$\langle v, v \rangle = z_{01}^2 - \sum_{i=2}^n z_{0i}^2$。由于 $\langle v, v \rangle > 0$，不等式成立。

因此，原不等式 $(X^T A Y)^2 \geq (X^T A X)(Y^T A Y)$ 成立的充要条件是 $X^T A X$ 的正惯性指数等于 1。