湖南大学 2026年高等代数第4题

矩阵A是n阶循环矩阵，其形式为： $$A = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & -1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & -1 \\ -1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix}.$$

特征多项式为 $\det(\lambda I - A)$，其中 $\lambda I - A$ 为： $$\lambda I - A = \begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\ 1 & 0 & 0 & \cdots & \lambda \end{pmatrix}.$$

按第一行展开或利用循环矩阵性质，得特征多项式为： $$\det(\lambda I - A) = \lambda^n + (-1)^{n-1} = 0.$$ 即 $\lambda^n = (-1)^n$。

由 $\lambda^n = (-1)^n$，得 $\lambda^n = e^{i n \pi}$（因为 $(-1)^n = e^{i n \pi}$）。所以特征值为： $$\lambda_k = e^{i \frac{(2k+1)\pi}{n}}, \quad k=0,1,\dots,n-1$$ 当 $n$ 为奇数时；当 $n$ 为偶数时，$(-1)^n=1$，特征值为 $\lambda_k = e^{i \frac{2k\pi}{n}}$。统一可写为 $\lambda_k = \cos\frac{(2k+1)\pi}{n} + i\sin\frac{(2k+1)\pi}{n}$（$n$ 奇数）或 $\lambda_k = \cos\frac{2k\pi}{n} + i\sin\frac{2k\pi}{n}$（$n$ 偶数）。

对于每个特征值 $\lambda$，解齐次线性方程组 $(\lambda I - A)\mathbf{x}=0$。设 $\mathbf{x}=(x_1,x_2,\dots,x_n)^T$，由方程得： $$\lambda x_1 + x_2 = 0, \quad \lambda x_2 + x_3 = 0, \quad \dots, \quad \lambda x_{n-1} + x_n = 0, \quad x_1 + \lambda x_n = 0.$$ 前 $n-1$ 个方程给出 $x_2 = -\lambda x_1, x_3 = -\lambda x_2 = \lambda^2 x_1, \dots, x_n = (-\lambda)^{n-1} x_1$。代入最后一个方程得 $x_1 + \lambda (-\lambda)^{n-1} x_1 = x_1(1+(-1)^{n-1}\lambda^n)=0$，由于 $\lambda^n=(-1)^n$，故 $1+(-1)^{n-1}(-1)^n=1+(-1)^{2n-1}=1-1=0$，恒成立。因此特征向量为 $\mathbf{v} = (1, -\lambda, \lambda^2, \dots, (-\lambda)^{n-1})^T$。但通常取 $\mathbf{v} = (1, \lambda, \lambda^2, \dots, \lambda^{n-1})^T$，因为 $-\lambda$ 可吸收进常数因子（注意：实际上 $(-\lambda)^{k} = (-1)^k \lambda^k$，但特征向量可以乘以非零常数，所以可取 $\mathbf{v} = (1, \lambda, \lambda^2, \dots, \lambda^{n-1})^T$ 作为代表）。

每个特征值 $\lambda_k$ 对应的特征子空间是一维的，由特征向量 $\mathbf{v}_k = (1, \lambda_k, \lambda_k^2, \dots, \lambda_k^{n-1})^T$ 张成。即： $$V_{\lambda_k} = \operatorname{span}\{(1, \lambda_k, \lambda_k^2, \dots, \lambda_k^{n-1})^T\}.$$