电子科技大学 2022年高等代数第0题
📝 题目
七．（15 分）（可能有误）线性变换的矩阵 $A$ 对应的特征值为 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{i}$ ．
（1）证明：存在非零特征向量 $\displaystyle \alpha$ ，使得 $\displaystyle A \alpha=\lambda_{1} \alpha$ ；
（2）证明：存在可逆矩阵 $C$ ，使得 $\displaystyle C^{-1} A C$ 为对角阵．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解特征值与特征向量的定义
特征值 $\lambda_1$ 是矩阵 $A$ 的特征值，意味着存在非零向量 $\alpha$ 使得 $A\alpha = \lambda_1 \alpha$。这是特征值的定义，因此结论（1）直接成立。
公式：A\alpha = \lambda \alpha
提示：注意特征向量必须非零，否则定义不成立。
步骤 2/5
目标：分析结论（2）的普遍性
结论（2）声称存在可逆矩阵 $C$ 使得 $C^{-1}AC$ 为对角阵，即 $A$ 可对角化。但并非所有矩阵都可对角化，例如 $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ 的特征值为 $1$（二重），但只有一个线性无关的特征向量，故不可对角化。因此原命题不成立。
提示：注意特征值重复时，不一定有足够多的线性无关特征向量。
步骤 3/5
目标：给出反例证明原命题错误
取 $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$，其特征多项式为 $(\lambda-1)^2$，特征值 $\lambda=1$。解 $(A-I)\alpha=0$ 得 $\alpha = (1,0)^T$，只有一个线性无关特征向量，故 $A$ 不可对角化。因此不存在可逆矩阵 $C$ 使 $C^{-1}AC$ 为对角阵。
公式：A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
提示：反例需验证特征值重复且几何重数小于代数重数。
步骤 4/5
目标：补充条件使结论成立
若补充条件：$A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量，则取这些特征向量为列构成矩阵 $C$，即 $C = (\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n)$，其中 $A\alpha_i = \lambda_i \alpha_i$。则 $AC = A(\alpha_1, \dots, \alpha_n) = (\lambda_1\alpha_1, \dots, \lambda_n\alpha_n) = C \operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$，故 $C^{-1}AC = \operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$。
公式：C^{-1}AC = \operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)
提示：确保特征向量线性无关，否则 $C$ 不可逆。
步骤 5/5
目标：总结结论
（1）由特征值定义直接得证。（2）原命题不成立，反例为 $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$。若补充条件“$A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量”，则结论成立。
提示：注意题目可能遗漏条件，需指出。
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