电子科技大学 2022年高等代数第1题
📝 题目
1．$\displaystyle A, B$ 均为 3 阶方阵，$\displaystyle |A|=5,|B|=2,\left|A^{-1}+B\right|=4$ ，则 $\displaystyle \left|A+B^{-1}\right|=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：恒等变形
将 $A+B^{-1}$ 写成 $A B^{-1} (A^{-1}+B)$ 的形式。具体推导：$A+B^{-1} = A(I + A^{-1}B^{-1}) = A(B^{-1}B + A^{-1}B^{-1}) = A B^{-1}(B + A^{-1}) = A B^{-1}(A^{-1}+B)$。
公式：$A+B^{-1} = A B^{-1}(A^{-1}+B)$
提示：注意矩阵乘法不交换，顺序不能颠倒。
步骤 2/6
目标：取行列式
对等式两边取行列式：$|A+B^{-1}| = |A B^{-1} (A^{-1}+B)|$。
公式：$|AB| = |A||B|$
提示：行列式乘法性质要求矩阵同阶。
步骤 3/6
目标：应用行列式乘法性质
由行列式乘法性质，$|A B^{-1} (A^{-1}+B)| = |A| \cdot |B^{-1}| \cdot |A^{-1}+B|$。
公式：$|ABC| = |A||B||C|$
提示：注意行列式是数，乘法可交换顺序。
步骤 4/6
目标：代入已知数值
已知 $|A|=5$，$|B|=2$，$|A^{-1}+B|=4$，且 $|B^{-1}| = |B|^{-1} = \frac{1}{2}$。代入得：$|A+B^{-1}| = 5 \times \frac{1}{2} \times 4$。
公式：$|B^{-1}| = |B|^{-1}$
提示：注意 $|B^{-1}| = 1/|B|$，前提是 $B$ 可逆。
步骤 5/6
目标：计算结果
计算乘积：$5 \times \frac{1}{2} \times 4 = 10$。
提示：注意乘法顺序不影响结果。
步骤 6/6
目标：得出答案
因此，$|A+B^{-1}| = 10$。
提示：最终答案应填入空格。
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