电子科技大学 2022年高等代数第2题
📝 题目
2． 3 阶实对称矩阵按合同分类，可分为 $\displaystyle \_\_\_\_$类．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：理解合同分类依据
实对称矩阵的合同分类由惯性定理决定：两个实对称矩阵合同当且仅当它们有相同的正惯性指数 $p$、负惯性指数 $q$ 和零的个数。对于 $n$ 阶矩阵，秩 $r = p+q$，零的个数为 $n-r$。
提示：注意惯性指数是指标准形中正平方项和负平方项的个数，与特征值符号有关。
步骤 2/4
目标：确定秩的可能取值
对于3阶实对称矩阵，秩 $r$ 可以取 $0,1,2,3$。
提示：秩为0时矩阵是零矩阵，秩为3时满秩。
步骤 3/4
目标：对每个秩枚举正惯性指数
对于每个秩 $r$，正惯性指数 $p$ 的取值范围是 $0 \leq p \leq r$，且负惯性指数 $q = r-p$。因此：
- $r=0$：$p=0$，1种；
- $r=1$：$p=0,1$，2种；
- $r=2$：$p=0,1,2$，3种；
- $r=3$：$p=0,1,2,3$，4种。
提示：注意 $p$ 和 $q$ 都是非负整数，且 $p+q=r$。
步骤 4/4
目标：计算合同类总数
将各种情况相加：$1+2+3+4 = 10$。因此3阶实对称矩阵按合同分类共有10类。
提示：不要遗漏秩为0的情况。
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