电子科技大学 2022年高等代数第3题

二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=a x_1^2+a x_2^2-x_3^2-4x_1x_2+4x_1x_3+2x_2x_3$ 的矩阵 $A$ 满足 $f=\mathbf{x}^T A \mathbf{x}$，其中 $A$ 是对称矩阵。根据系数：$x_1^2$ 系数 $a$ 对应 $a_{11}=a$，$x_2^2$ 系数 $a$ 对应 $a_{22}=a$，$x_3^2$ 系数 $-1$ 对应 $a_{33}=-1$；$x_1x_2$ 系数 $-4$ 对应 $a_{12}=a_{21}=-2$；$x_1x_3$ 系数 $4$ 对应 $a_{13}=a_{31}=2$；$x_2x_3$ 系数 $2$ 对应 $a_{23}=a_{32}=1$。因此 $A=\begin{pmatrix} a & -2 & 2 \\ -2 & a & 1 \\ 2 & 1 & -1 \end{pmatrix}$。

二次型经过可逆线性替换化为 $y_1^2-y_2^2$，即标准型中正惯性指数为1，负惯性指数为1，零指数为1（因为变量个数为3）。所以矩阵 $A$ 的秩为2，且行列式为零：$\operatorname{rank}(A)=2$，$\det(A)=0$。

计算 $\det(A)$： \[ \det(A)=a\begin{vmatrix} a & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} -(-2)\begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} +2\begin{vmatrix} -2 & a \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = a(-a-1)+2(2-2)+2(-2-2a)= -a^2-a+0-4-4a= -a^2-5a-4. \] 令 $\det(A)=0$ 得 $-a^2-5a-4=0$，即 $a^2+5a+4=0$，解得 $a=-1$ 或 $a=-4$。

对于 $a=-1$，$A=\begin{pmatrix} -1 & -2 & 2 \\ -2 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \end{pmatrix}$。一阶顺序主子式 $\Delta_1=-1\neq0$，二阶顺序主子式 $\Delta_2=\begin{vmatrix} -1 & -2 \\ -2 & -1 \end{vmatrix}=1-4=-3\neq0$，故秩为2。 对于 $a=-4$，$A=\begin{pmatrix} -4 & -2 & 2 \\ -2 & -4 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \end{pmatrix}$。$\Delta_1=-4\neq0$，$\Delta_2=\begin{vmatrix} -4 & -2 \\ -2 & -4 \end{vmatrix}=16-4=12\neq0$，秩也为2。两个候选均满足秩条件。

对 $a=-1$ 配平方： \[ f = -x_1^2-x_2^2-x_3^2-4x_1x_2+4x_1x_3+2x_2x_3. \] 先对 $x_1$ 配平方： \[ f = -(x_1+2x_2-2x_3)^2 + 3x_2^2 -6x_2x_3 +3x_3^2 = -(x_1+2x_2-2x_3)^2 + 3(x_2-x_3)^2. \] 令 $y_1=\sqrt{3}(x_2-x_3)$，$y_2=x_1+2x_2-2x_3$，则 $f=y_1^2-y_2^2$，符合标准型。 对 $a=-4$ 配平方： \[ f = -4x_1^2-4x_2^2-x_3^2-4x_1x_2+4x_1x_3+2x_2x_3. \] 先对 $x_1$ 配平方： \[ f = -4\left(x_1+\frac{1}{2}x_2-\frac{1}{2}x_3\right)^2 -3x_2^2+4x_2x_3-2x_3^2. \] 再对 $x_2$ 配平方： \[ f = -4\left(x_1+\frac{1}{2}x_2-\frac{1}{2}x_3\right)^2 -3\left(x_2-\frac{2}{3}x_3\right)^2 -\frac{2}{3}x_3^2. \] 三个平方项系数均为负，无法化为 $y_1^2-y_2^2$，故 $a=-4$ 不合。