电子科技大学 2022年高等代数第0题

设 $\eta_1, \eta_2, \dots, \eta_k$ 是齐次线性方程组 $AX=0$ 的一个基础解系，则它们线性无关，且 $AX=0$ 的任意解可由它们线性表示。由于非齐次方程组 $AX=\beta$ 有解，设 $\xi_0$ 为其一个特解，则 $AX=\beta$ 的通解为 $\xi_0 + \sum_{i=1}^k c_i \eta_i$，其中 $c_i$ 为任意常数。

考虑向量组 $\xi_0, \xi_0+\eta_1, \xi_0+\eta_2, \dots, \xi_0+\eta_k$。这些向量都是 $AX=\beta$ 的解，因为 $A\xi_0=\beta$，$A(\xi_0+\eta_i)=A\xi_0+A\eta_i=\beta+0=\beta$。

设存在常数 $\lambda_0, \lambda_1, \dots, \lambda_k$ 使得 $\lambda_0 \xi_0 + \sum_{i=1}^k \lambda_i (\xi_0+\eta_i) = 0$。整理得 $(\lambda_0 + \sum_{i=1}^k \lambda_i) \xi_0 + \sum_{i=1}^k \lambda_i \eta_i = 0$。两边左乘 $A$，利用 $A\xi_0=\beta$，$A\eta_i=0$，得 $(\lambda_0 + \sum_{i=1}^k \lambda_i) \beta = 0$。因为 $\beta \neq 0$，所以 $\lambda_0 + \sum_{i=1}^k \lambda_i = 0$。代入上式得 $\sum_{i=1}^k \lambda_i \eta_i = 0$。由于 $\eta_1, \dots, \eta_k$ 线性无关，故 $\lambda_1 = \dots = \lambda_k = 0$，进而 $\lambda_0 = 0$。因此向量组线性无关，共有 $k+1$ 个向量。

假设存在 $k+2$ 个线性无关的解 $\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_{k+2}$。考虑它们的差 $\xi_i - \xi_{k+2}$（$i=1,\dots,k+1$），这些差都是齐次方程 $AX=0$ 的解，因为 $A(\xi_i - \xi_{k+2}) = A\xi_i - A\xi_{k+2} = \beta - \beta = 0$。

若 $\xi_1 - \xi_{k+2}, \dots, \xi_{k+1} - \xi_{k+2}$ 线性相关，则存在不全为零的系数 $c_1, \dots, c_{k+1}$ 使得 $\sum_{i=1}^{k+1} c_i (\xi_i - \xi_{k+2}) = 0$，即 $\sum_{i=1}^{k+1} c_i \xi_i - (\sum_{i=1}^{k+1} c_i) \xi_{k+2} = 0$。由于 $\xi_1, \dots, \xi_{k+2}$ 线性无关，必有所有系数为零，矛盾。因此差向量组线性无关。

差向量组是 $AX=0$ 的 $k+1$ 个线性无关的解，但齐次方程的解空间维数为 $k$，最多有 $k$ 个线性无关的解，矛盾。因此假设不成立，不存在 $k+2$ 个线性无关的解。

综上，$AX=\beta$ 有 $k+1$ 个线性无关的解，且不存在 $k+2$ 个线性无关的解。