电子科技大学 2022年高等代数第0题
📝 题目
九．（15 分）设二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{3}^{2}-2 x_{1} x_{3}+2 x_{2} x_{3}$ ，用矩阵方法求二次型函数 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$在 $\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=1$ 下的最大值．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：写出二次型的矩阵
二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2-x_3^2-2x_1x_3+2x_2x_3$ 对应的矩阵 $A$ 是对称矩阵，其中 $a_{ii}$ 为 $x_i^2$ 的系数，$a_{ij}=a_{ji}$ 为 $x_ix_j$ 系数的一半。因此 $A=\begin{pmatrix}1 & 0 & -1\\0 & 1 & 1\\-1 & 1 & -1\end{pmatrix}$。
公式：二次型 $f(x)=x^TAx$，$A$ 对称
提示：注意交叉项系数要除以2，且矩阵必须对称。
步骤 2/6
目标：将条件极值问题转化为特征值问题
在约束条件 $x_1^2+x_2^2+x_3^2=1$ 下，二次型 $f$ 的最大值等于矩阵 $A$ 的最大特征值。这是因为 $f$ 在单位球面上的最大值是 $A$ 的最大特征值。
公式：$\max\limits_{\|x\|=1} x^TAx = \lambda_{\max}(A)$
提示：确保约束条件是单位球面，且 $A$ 是实对称矩阵。
步骤 3/6
目标：写出特征多项式
特征多项式为 $|\lambda I - A|=0$，即 $\begin{vmatrix}\lambda-1 & 0 & 1\\0 & \lambda-1 & -1\\1 & -1 & \lambda+1\end{vmatrix}=0$。
公式：$|\lambda I - A|=0$
提示：注意 $\lambda I - A$ 的符号，不要写反。
步骤 4/6
目标：计算行列式
按第一行展开：$(\lambda-1)\begin{vmatrix}\lambda-1 & -1\\-1 & \lambda+1\end{vmatrix} -0\cdot\begin{vmatrix}0 & -1\\1 & \lambda+1\end{vmatrix} +1\cdot\begin{vmatrix}0 & \lambda-1\\1 & -1\end{vmatrix}$。计算各子式：$(\lambda-1)[(\lambda-1)(\lambda+1)-(-1)(-1)] + 1[0\cdot(-1)-1\cdot(\lambda-1)] = (\lambda-1)(\lambda^2-1-1) - (\lambda-1) = (\lambda-1)(\lambda^2-2) - (\lambda-1) = (\lambda-1)(\lambda^2-3)=0$。
公式：行列式展开公式
提示：计算子式时注意符号，尤其是代数余子式的正负号。
步骤 5/6
目标：求解特征值
由 $(\lambda-1)(\lambda^2-3)=0$ 得特征值 $\lambda_1=1$，$\lambda_2=\sqrt{3}$，$\lambda_3=-\sqrt{3}$。
提示：注意 $\lambda^2-3=0$ 的解为 $\pm\sqrt{3}$，不要遗漏负根。
步骤 6/6
目标：确定最大值
最大特征值为 $\sqrt{3}$，因此二次型在单位球面上的最大值为 $\sqrt{3}$。
提示：最大值是最大特征值，不是特征值的绝对值最大。
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