电子科技大学 2022年高等代数第0题
📝 题目
五．（15 分）设矩阵 $\displaystyle B=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 4\end{array}\right)$ ，线性变换 $\displaystyle T: A \mapsto A B-2 A^{T}, \forall A \in \mathbb{R}^{2 \times 2}$ ．
（1）求线性变换 $T$ 在 $\displaystyle E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}$ 下的矩阵；
（2）在 $\displaystyle \mathbb{R}^{2 \times 2}$ 中找一组基，使得变换在基下的矩阵为对角阵。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：确定基与计算T(E11)
基为 $E_{11}=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}, E_{12}=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}, E_{21}=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}, E_{22}=\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}$。计算 $T(E_{11})=E_{11}B-2E_{11}^T=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&4\end{pmatrix}-2\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2&0\\0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&0\\0&0\end{pmatrix}=-E_{11}$。
公式：T(A)=AB-2A^T
提示：注意转置运算：E_{11}^T=E_{11}，E_{12}^T=E_{21}，E_{21}^T=E_{12}，E_{22}^T=E_{22}。
步骤 2/6
目标：计算T(E12)
$T(E_{12})=E_{12}B-2E_{12}^T=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&4\end{pmatrix}-2\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&4\\0&0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0&0\\2&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&4\\-2&0\end{pmatrix}=4E_{12}-2E_{21}$。
提示：矩阵乘法顺序：先乘B，再减2倍转置。
步骤 3/6
目标：计算T(E21)和T(E22)
$T(E_{21})=E_{21}B-2E_{21}^T=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&4\end{pmatrix}-2\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0&2\\0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&-2\\1&0\end{pmatrix}=-2E_{12}+E_{21}$。
$T(E_{22})=E_{22}B-2E_{22}^T=\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&4\end{pmatrix}-2\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\0&4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0&0\\0&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\0&2\end{pmatrix}=2E_{22}$。
提示：注意E_{21}^T=E_{12}，E_{22}^T=E_{22}。
步骤 4/6
目标：写出变换矩阵M
将 $T(E_{ij})$ 在基下坐标作为列向量，得矩阵 $M=\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&4&-2&0\\0&-2&1&0\\0&0&0&2\end{pmatrix}$。
提示：矩阵的列对应基向量的像的坐标，顺序为E11,E12,E21,E22。
步骤 5/6
目标：分析子空间与特征值
注意到 $E_{11}$ 和 $E_{22}$ 已经是特征向量：$T(E_{11})=-E_{11}$（特征值-1），$T(E_{22})=2E_{22}$（特征值2）。$E_{12},E_{21}$ 张成的子空间在 $T$ 下不变，限制矩阵为 $\begin{pmatrix}4&-2\\-2&1\end{pmatrix}$。求其特征多项式：$\det\begin{pmatrix}4-\lambda&-2\\-2&1-\lambda\end{pmatrix}=(4-\lambda)(1-\lambda)-4=\lambda^2-5\lambda=\lambda(\lambda-5)$，特征值0和5。
公式：特征多项式 det(A-λI)=0
提示：子空间不变性的判断：T(E12)和T(E21)只含E12,E21分量。
步骤 6/6
目标：求特征向量并构造新基
对于特征值0：解 $(4,-2;-2,1)v=0$，得 $v=(1,2)^T$，对应矩阵 $E_{12}+2E_{21}$。对于特征值5：解 $(-1,-2;-2,-4)v=0$，得 $v=(2,-1)^T$，对应矩阵 $2E_{12}-E_{21}$。因此新基为 $E_{11}, E_{22}, E_{12}+2E_{21}, 2E_{12}-E_{21}$。在此基下，$T$ 的矩阵为对角阵 $\operatorname{diag}(-1,2,0,5)$。
公式：解齐次线性方程组 (A-λI)v=0
提示：特征向量需线性无关，且与原有基向量一起构成全空间基。
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