电子科技大学 2022年高等代数第0题
📝 题目
八．（20分）设 $\displaystyle \mathscr{A}$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换．证明：
（1）若存在正整数 $k$ ，使得 $\displaystyle \operatorname{Ker} \mathscr{A}^{k}=\operatorname{Ker} \mathscr{A}^{k+1}$ ，则对任意正整数 $l$ ，有 $\displaystyle \operatorname{Ker} \mathscr{A}^{k}=\operatorname{Ker} \mathscr{A}^{k+l}$ ；
（2）证明：存在正整数 $m$ ，使得 $\displaystyle V=\operatorname{Ker} \mathscr{A}^{m} \oplus \operatorname{Im} \mathscr{A}^{m}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解已知条件并设定归纳假设
已知存在正整数 $k$ 使得 $\operatorname{Ker} \mathscr{A}^{k} = \operatorname{Ker} \mathscr{A}^{k+1}$。对任意正整数 $l$，用数学归纳法证明 $\operatorname{Ker} \mathscr{A}^{k} = \operatorname{Ker} \mathscr{A}^{k+l}$。当 $l=1$ 时结论显然成立。假设 $\operatorname{Ker} \mathscr{A}^{k} = \operatorname{Ker} \mathscr{A}^{k+l}$ 成立。
提示：注意归纳假设的使用，明确要证明的等式。
步骤 2/6
目标：证明归纳步骤中的包含关系
对任意 $\alpha \in \operatorname{Ker} \mathscr{A}^{k+l+1}$，有 $\mathscr{A}^{k+l+1}\alpha = 0$，即 $\mathscr{A}^{k+l}(\mathscr{A}\alpha)=0$，故 $\mathscr{A}\alpha \in \operatorname{Ker} \mathscr{A}^{k+l} = \operatorname{Ker} \mathscr{A}^{k}$，从而 $\mathscr{A}^{k}(\mathscr{A}\alpha)=0$，即 $\mathscr{A}^{k+1}\alpha=0$，所以 $\alpha \in \operatorname{Ker} \mathscr{A}^{k+1} = \operatorname{Ker} \mathscr{A}^{k}$。因此 $\operatorname{Ker} \mathscr{A}^{k+l+1} \subseteq \operatorname{Ker} \mathscr{A}^{k}$。
公式：$\mathscr{A}^{k+l+1}\alpha = \mathscr{A}^{k+l}(\mathscr{A}\alpha)$
提示：注意利用归纳假设和已知条件，不要混淆指数。
步骤 3/6
目标：证明归纳步骤中的反向包含关系
反之，若 $\alpha \in \operatorname{Ker} \mathscr{A}^{k}$，则 $\mathscr{A}^{k+l+1}\alpha = \mathscr{A}^{l+1}(\mathscr{A}^{k}\alpha)=0$，故 $\alpha \in \operatorname{Ker} \mathscr{A}^{k+l+1}$。因此 $\operatorname{Ker} \mathscr{A}^{k} \subseteq \operatorname{Ker} \mathscr{A}^{k+l+1}$。结合上一步，得到 $\operatorname{Ker} \mathscr{A}^{k} = \operatorname{Ker} \mathscr{A}^{k+l+1}$。由归纳法，结论对任意正整数 $l$ 成立。
公式：$\mathscr{A}^{k+l+1}\alpha = \mathscr{A}^{l+1}(\mathscr{A}^{k}\alpha)$
提示：注意反向包含的推导中，$\mathscr{A}^{k}\alpha=0$ 是关键。
步骤 4/6
目标：构造子空间链并找到稳定点
考虑子空间链：$\{0\} \subseteq \operatorname{Ker} \mathscr{A} \subseteq \operatorname{Ker} \mathscr{A}^{2} \subseteq \cdots \subseteq V$。由于 $V$ 是有限维，维数递增有上界，故存在 $m$ 使得 $\operatorname{Ker} \mathscr{A}^{m} = \operatorname{Ker} \mathscr{A}^{m+1}$。由（1）知，对任意 $l \geq 0$，$\operatorname{Ker} \mathscr{A}^{m} = \operatorname{Ker} \mathscr{A}^{m+l}$。
提示：注意有限维保证链稳定，$m$ 是使得核稳定的最小正整数。
步骤 5/6
目标：证明核与像的交集为零
下证 $\operatorname{Ker} \mathscr{A}^{m} \cap \operatorname{Im} \mathscr{A}^{m} = \{0\}$。若 $\beta \in \operatorname{Ker} \mathscr{A}^{m} \cap \operatorname{Im} \mathscr{A}^{m}$，则存在 $\gamma$ 使 $\beta = \mathscr{A}^{m}\gamma$，且 $\mathscr{A}^{m}\beta=0$，故 $\mathscr{A}^{2m}\gamma=0$，从而 $\gamma \in \operatorname{Ker} \mathscr{A}^{2m} = \operatorname{Ker} \mathscr{A}^{m}$，于是 $\beta = \mathscr{A}^{m}\gamma = 0$。
公式：$\mathscr{A}^{2m}\gamma = \mathscr{A}^{m}(\mathscr{A}^{m}\gamma) = \mathscr{A}^{m}\beta = 0$
提示：注意利用核的稳定性：$\operatorname{Ker} \mathscr{A}^{2m} = \operatorname{Ker} \mathscr{A}^{m}$。
步骤 6/6
目标：利用维数公式证明直和分解
由维数公式：$\dim V = \dim \operatorname{Ker} \mathscr{A}^{m} + \dim \operatorname{Im} \mathscr{A}^{m}$。又因为 $\operatorname{Ker} \mathscr{A}^{m} \cap \operatorname{Im} \mathscr{A}^{m} = \{0\}$，所以 $\operatorname{Ker} \mathscr{A}^{m} + \operatorname{Im} \mathscr{A}^{m}$ 是直和，且维数等于 $\dim V$，故 $V = \operatorname{Ker} \mathscr{A}^{m} \oplus \operatorname{Im} \mathscr{A}^{m}$。
公式：$\dim V = \dim \operatorname{Ker} \mathscr{A}^{m} + \dim \operatorname{Im} \mathscr{A}^{m}$
提示：注意直和的条件：和空间维数等于各子空间维数之和，且交集为零。
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