电子科技大学 2022年高等代数第0题
📝 题目
四．（15 分）$A$ 为 $\displaystyle 3 \times 4$ 矩阵，$B$ 为 $\displaystyle 4 \times 3$ 矩阵．
（1）证明：$\displaystyle \left|\lambda I_{4}-B A\right|=\lambda\left|\lambda I_{3}-A B\right|$ ；
（2）若 $\displaystyle \operatorname{tr}(A B)=6, A B$ 每行元素之和均为 $\displaystyle 1, B A-2 I$ 不可逆，求 $\displaystyle |B A+2 I|$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：构造分块矩阵并计算行列式
考虑分块矩阵 $M = \begin{pmatrix} I_4 & B \\ A & \lambda I_3 \end{pmatrix}$，其中 $I_4$ 是 $4 \times 4$ 单位矩阵，$\lambda I_3$ 是 $3 \times 3$ 数量矩阵。$M$ 是 $7 \times 7$ 矩阵。
提示：注意分块矩阵的维度匹配：$I_4$ 是 $4 \times 4$，$B$ 是 $4 \times 3$，$A$ 是 $3 \times 4$，$\lambda I_3$ 是 $3 \times 3$。
步骤 2/7
目标：通过行变换得到第一个行列式表达式
对 $M$ 进行行变换：将第二行左乘 $A$ 加到第一行？实际上，更标准的方法是使用分块矩阵的行列式公式：$\det\begin{pmatrix} I_4 & B \\ A & \lambda I_3 \end{pmatrix} = \det(I_4) \det(\lambda I_3 - A I_4^{-1} B) = \det(\lambda I_3 - AB)$。
公式：$\det\begin{pmatrix} I_4 & B \\ A & \lambda I_3 \end{pmatrix} = \det(\lambda I_3 - AB)$
提示：这里假设 $\lambda I_3$ 可逆，但最终等式作为多项式恒等式成立。
步骤 3/7
目标：通过列变换得到第二个行列式表达式
另一种方式：将第一列右乘 $B$ 加到第二列？实际上，利用恒等式：$\det\begin{pmatrix} I_4 & B \\ A & \lambda I_3 \end{pmatrix} = \det(\lambda I_3) \det(I_4 - B(\lambda I_3)^{-1}A) = \lambda^3 \det(I_4 - \frac{1}{\lambda} BA) = \lambda^{3-4} \det(\lambda I_4 - BA) = \lambda^{-1} \det(\lambda I_4 - BA)$。
公式：$\det\begin{pmatrix} I_4 & B \\ A & \lambda I_3 \end{pmatrix} = \lambda^{-1} \det(\lambda I_4 - BA)$
提示：注意 $\det(\lambda I_3) = \lambda^3$，且 $\det(I_4 - \frac{1}{\lambda} BA) = \lambda^{-4} \det(\lambda I_4 - BA)$。
步骤 4/7
目标：联立两个表达式得到所需等式
由两个表达式相等得：$\det(\lambda I_3 - AB) = \lambda^{-1} \det(\lambda I_4 - BA)$。两边乘以 $\lambda$ 即得 $\lambda \det(\lambda I_3 - AB) = \det(\lambda I_4 - BA)$，这正是要证明的等式。
公式：$\lambda \det(\lambda I_3 - AB) = \det(\lambda I_4 - BA)$
提示：该等式对任意 $\lambda$ 成立，包括 $\lambda=0$，可通过多项式恒等性验证。
步骤 5/7
目标：利用已知条件确定AB的特征值
已知 $AB$ 是 $3 \times 3$ 矩阵，$\operatorname{tr}(AB)=6$，且每行元素之和均为 $1$，即 $AB \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$，所以 $1$ 是 $AB$ 的一个特征值。设 $AB$ 的特征值为 $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$，则 $\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=6$，不妨设 $\lambda_1=1$，则 $\lambda_2+\lambda_3=5$。
公式：$\operatorname{tr}(AB)=\sum \lambda_i$
提示：每行和为1意味着 $(1,1,1)^T$ 是特征向量，特征值为1。
步骤 6/7
目标：利用BA-2I不可逆确定另一个特征值
$BA-2I$ 不可逆，即 $\det(BA-2I)=0$，所以 $2$ 是 $BA$ 的一个特征值。由(1)的结论，$BA$ 的非零特征值与 $AB$ 的特征值相同，且 $BA$ 比 $AB$ 多一个零特征值。因此 $2$ 必须是 $AB$ 的特征值，不妨设 $\lambda_2=2$，则 $\lambda_3=3$。所以 $AB$ 的特征值为 $1,2,3$。
公式：$\det(\lambda I_4 - BA) = \lambda \det(\lambda I_3 - AB)$
提示：注意 $BA$ 是 $4 \times 4$，$AB$ 是 $3 \times 3$，所以 $BA$ 的特征值包含 $AB$ 的三个特征值和一个零。
步骤 7/7
目标：计算BA+2I的行列式
$BA$ 的特征值为 $0,1,2,3$，则 $BA+2I$ 的特征值为 $2,3,4,5$，其行列式为 $2 \times 3 \times 4 \times 5 = 120$。
公式：$\det(BA+2I) = \prod (\mu_i+2)$，其中 $\mu_i$ 是 $BA$ 的特征值
提示：行列式等于特征值的乘积。
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