电子科技大学 2023年高等代数第2题
📝 题目
2．设 2023 阶矩阵 $A$ 满足 $\displaystyle A^{8}=O$ ，则秩 $\displaystyle \operatorname{rank} A$ 的最大值为
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解幂零矩阵的性质
已知 $A^8 = O$，即 $A$ 是幂零矩阵，且幂零指数不超过 8。幂零矩阵的 Jordan 标准形中，每个 Jordan 块的阶数不超过 8。
提示：注意幂零指数是指满足 $A^k=O$ 的最小正整数 $k$，这里 $A^8=O$ 说明指数 ≤8，但可能更小。
步骤 2/6
目标：分析 Jordan 块的秩
对于 $k$ 阶 Jordan 块 $J_k(0)$，其秩为 $k-1$。因为 Jordan 块除了主对角线上的 0 和次对角线上的 1，其余为 0，其秩等于非零行数，即 $k-1$。
公式：\operatorname{rank}(J_k(0)) = k-1
提示：注意 Jordan 块是上三角矩阵，次对角线为 1，其余为 0，秩等于阶数减 1。
步骤 3/6
目标：确定最大化秩的策略
为了最大化整个矩阵的秩，应使每个 Jordan 块的阶数尽可能大，因为阶数越大，单个块的秩越大。但阶数不能超过 8，因此应尽可能使用 8 阶 Jordan 块。
提示：不要忘记矩阵的秩等于所有 Jordan 块秩之和。
步骤 4/6
目标：计算 8 阶 Jordan 块的数量
矩阵阶数为 2023，每个 8 阶 Jordan 块占 8 行。用 2023 除以 8：$2023 = 8 \times 252 + 7$，所以最多有 252 个 8 阶 Jordan 块，剩余 7 行构成一个 7 阶 Jordan 块。
公式：2023 = 8 \times 252 + 7
提示：注意余数 7 对应一个 7 阶块，而不是多个小块的组合，因为要最大化秩，应尽量用大块。
步骤 5/6
目标：计算总秩
每个 8 阶 Jordan 块秩为 7，共 252 个，贡献 $252 \times 7 = 1764$；7 阶 Jordan 块秩为 6，贡献 6。总秩为 $1764 + 6 = 1770$。
公式：\operatorname{rank}(A) = 252 \times 7 + 6 = 1770
提示：注意不要漏掉低阶块的秩，且计算要准确。
步骤 6/6
目标：验证最大值
若使用更小的 Jordan 块，例如用 8 阶块和更小的块组合，总秩会降低。因为每个 8 阶块秩 7，若换成两个 4 阶块，秩为 $3+3=6$，小于 7。所以 1770 是最大值。
提示：可以简单比较：用 8 阶块比用两个 4 阶块秩更大。
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