电子科技大学 2023年高等代数第3题
📝 题目
3．设 $V$ 是全体 4 阶实矩阵关于矩阵加法和数乘构成的实线性空间，记
$$
V_{1}=\left\{A \in V \mid A^{T}=A\right\}, V_{2}=\left\{\left(a_{i j}\right) \mid a_{i j}=0, \forall i>j\right\}
$$
则 $\displaystyle \operatorname{dim}\left(V_{1}+V_{2}\right)-\operatorname{dim}\left(V_{1} \cap V_{2}\right)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：确定全空间V的维数
V是全体4阶实矩阵构成的线性空间，每个矩阵有4×4=16个独立分量，因此dim V = 16。
公式：dim V = 4 × 4 = 16
提示：注意矩阵是4阶，不要误算为其他阶数。
步骤 2/6
目标：计算V1的维数
V1是4阶实对称矩阵的集合，即满足A^T = A。对称矩阵中，主对角线及上三角部分自由，下三角由对称性决定。独立元素个数为1+2+3+4=10，故dim V1 = 10。
公式：dim V1 = n(n+1)/2 = 4×5/2 = 10
提示：对称矩阵维数公式n(n+1)/2，n=4。
步骤 3/6
目标：计算V2的维数
V2是4阶上三角矩阵（包括对角线）的集合，即满足当i>j时a_ij=0。独立元素位于主对角线及上方，个数为1+2+3+4=10，故dim V2 = 10。
公式：dim V2 = n(n+1)/2 = 4×5/2 = 10
提示：上三角矩阵维数公式也是n(n+1)/2。
步骤 4/6
目标：确定V1∩V2的维数
V1∩V2是既对称又上三角的矩阵。对称要求下三角等于上三角，上三角要求下三角为零，因此非对角元全为零，只有对角元自由。4阶对角矩阵有4个独立元素，故dim(V1∩V2)=4。
公式：dim(V1∩V2) = n = 4
提示：注意对称和上三角的交集是对角矩阵。
步骤 5/6
目标：应用维数公式求dim(V1+V2)
由维数公式：dim(V1+V2) = dim V1 + dim V2 - dim(V1∩V2) = 10 + 10 - 4 = 16。
公式：dim(V1+V2) = dim V1 + dim V2 - dim(V1∩V2)
提示：维数公式适用于子空间的和与交。
步骤 6/6
目标：计算所求差值
所求表达式为 dim(V1+V2) - dim(V1∩V2) = 16 - 4 = 12。
提示：直接代入上一步结果。
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