电子科技大学 2023年高等代数第4题
📝 题目
4．将 $\displaystyle \left\{A \in \mathbb{R}^{4} \mid A^{2}=2 A+3 I\right\}$ 按其在实数域上是否相似来分类，共分为 $\displaystyle \_\_\_\_$类．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：推导矩阵满足的多项式方程
由条件 $A^2 = 2A + 3I$ 移项得 $A^2 - 2A - 3I = 0$，即矩阵 $A$ 满足多项式 $f(x) = x^2 - 2x - 3$。
公式：$A^2 - 2A - 3I = 0$
提示：注意移项时符号不要出错。
步骤 2/6
目标：因式分解多项式并确定极小多项式
因式分解 $f(x) = x^2 - 2x - 3 = (x-3)(x+1)$。由于 $f(A)=0$，矩阵 $A$ 的极小多项式 $m(x)$ 整除 $f(x)$，因此 $m(x)$ 只能是 $(x-3)$、$(x+1)$ 或 $(x-3)(x+1)$ 之一。
公式：$(x-3)(x+1)$
提示：极小多项式是整除 $f(x)$ 的首一多项式，且零化矩阵。
步骤 3/6
目标：分析特征值和可对角化条件
由于极小多项式无重根（因式均为一次），矩阵 $A$ 可对角化。特征值只能是 $3$ 或 $-1$，因为它们是 $f(x)=0$ 的根。
提示：极小多项式无重根是可对角化的充要条件。
步骤 4/6
目标：确定相似类的分类依据
在实数域上，可对角化矩阵的相似等价于有相同的特征值（包括重数）。因此 $A$ 的相似类由特征值 $3$ 和 $-1$ 的重数决定。设 $3$ 的重数为 $k$，则 $-1$ 的重数为 $4-k$，其中 $k=0,1,2,3,4$。
提示：注意矩阵是 $4\times 4$ 的，所以特征值重数之和为4。
步骤 5/6
目标：列举所有可能的相似类
当 $k=0$ 时，所有特征值为 $-1$，矩阵相似于 $-I$；$k=1$ 时，一个 $3$ 和三个 $-1$；$k=2$ 时，两个 $3$ 和两个 $-1$；$k=3$ 时，三个 $3$ 和一个 $-1$；$k=4$ 时，所有特征值为 $3$，矩阵相似于 $3I$。共5种不同的Jordan标准形（均为对角矩阵）。
提示：注意 $k=0$ 和 $k=4$ 对应数量矩阵，但与其他类不同。
步骤 6/6
目标：得出结论
因此，集合中的矩阵按实数域上是否相似共分为5类。
提示：答案填写数字5。
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