电子科技大学 2023年高等代数第5题
📝 题目
5．设实二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}-x_{2}^{2}+2 a x_{1} x_{3}+4 x_{2} x_{3}$ 的负惯性指数为 1 ，则 $a$ 的范围是 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：写出二次型矩阵
二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2 - x_2^2 + 2a x_1 x_3 + 4 x_2 x_3$ 对应的矩阵 $A$ 满足 $f = \mathbf{x}^T A \mathbf{x}$，其中 $A$ 为实对称矩阵。根据二次型各项系数：$x_1^2$ 系数为1，$x_2^2$ 系数为-1，$x_3^2$ 系数为0；$x_1x_3$ 系数为 $2a$，故 $A_{13}=A_{31}=a$；$x_2x_3$ 系数为4，故 $A_{23}=A_{32}=2$；$x_1x_2$ 系数为0，故 $A_{12}=A_{21}=0$。因此 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & a \\ 0 & -1 & 2 \\ a & 2 & 0 \end{pmatrix}$。
公式：二次型矩阵元素：$A_{ii}$ 为 $x_i^2$ 系数，$A_{ij}=A_{ji}$ 为 $x_ix_j$ 系数的一半
提示：注意交叉项系数要除以2，例如 $2a x_1x_3$ 对应 $A_{13}=a$，$4x_2x_3$ 对应 $A_{23}=2$。
步骤 2/4
目标：配方法化简二次型
采用配方法将二次型化为标准形。先对 $x_1$ 配平方：$f = x_1^2 + 2a x_1 x_3 - x_2^2 + 4x_2 x_3 = (x_1 + a x_3)^2 - a^2 x_3^2 - x_2^2 + 4x_2 x_3$。再对 $x_2$ 配平方：$f = (x_1 + a x_3)^2 - [x_2^2 - 4x_2 x_3 + a^2 x_3^2] = (x_1 + a x_3)^2 - [(x_2 - 2x_3)^2 + (a^2-4)x_3^2]$。因此 $f = y_1^2 - y_2^2 - (a^2-4) y_3^2$，其中 $y_1 = x_1 + a x_3$，$y_2 = x_2 - 2x_3$，$y_3 = x_3$。
公式：配方法：$f = \sum (\text{线性组合})^2$
提示：配平方时注意系数，确保变换可逆（线性替换矩阵可逆）。
步骤 3/4
目标：根据标准形分析负惯性指数
标准形 $f = y_1^2 - y_2^2 - (a^2-4) y_3^2$ 中，平方项系数决定正负惯性指数。$y_1^2$ 系数为正，$y_2^2$ 系数为负。第三项系数为 $-(a^2-4)$，其符号取决于 $a^2-4$：
- 若 $a^2-4 > 0$，则 $-(a^2-4) < 0$，此时有两个负平方项，负惯性指数为2；
- 若 $a^2-4 = 0$，则第三项消失，此时有一个负平方项，负惯性指数为1，但秩为2；
- 若 $a^2-4 < 0$，则 $-(a^2-4) > 0$，此时有一个负平方项，负惯性指数为1。
题目要求负惯性指数为1，故需 $a^2-4 \leq 0$，即 $|a| \leq 2$。
公式：负惯性指数为负平方项的个数
提示：注意 $a^2-4=0$ 时，标准形中缺少 $y_3^2$ 项，但负惯性指数仍为1（因为只有一个负平方项），此时二次型秩为2。
步骤 4/4
目标：确定参数范围
由 $a^2-4 \leq 0$ 得 $a^2 \leq 4$，即 $-2 \leq a \leq 2$。因此 $a$ 的取值范围是 $[-2, 2]$。
提示：注意 $a$ 为实数，范围是闭区间。
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