电子科技大学 2024年高等代数第4题
📝 题目
4．若矩阵 $A$ 为 $\displaystyle m \times n$ 矩阵，且 $\displaystyle r(A)=r<n$ ，则 $\displaystyle A X=b$ 的解中线性无关的向量的个数最多为 $\displaystyle \_\_\_\_$个。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：分析方程组解的存在性
首先，考虑非齐次线性方程组 $AX=b$。由于 $r(A)=r
提示：注意区分有解和无解两种情况，无解时答案为0。
步骤 2/7
目标：假设方程组有解，写出解的结构
若方程组有解，则其解的结构为 $X = X_0 + Y$，其中 $X_0$ 是一个特解，$Y$ 是齐次方程组 $AX=0$ 的通解。齐次方程组的基础解系含有 $n-r$ 个线性无关的解向量，记为 $\eta_1,\dots,\eta_{n-r}$，则通解 $Y = \sum_{i=1}^{n-r} c_i \eta_i$，其中 $c_i \in \mathbb{R}$。
公式：X = X_0 + \sum_{i=1}^{n-r} c_i \eta_i
提示：特解 $X_0$ 是任意一个满足 $AX_0=b$ 的解，基础解系是齐次方程的解空间的一组基。
步骤 3/7
目标：构造一组解向量并判断线性相关性
考虑以下 $n-r+1$ 个解向量：$X_0, X_0+\eta_1, \dots, X_0+\eta_{n-r}$。假设存在一组系数 $\alpha_0, \alpha_1, \dots, \alpha_{n-r}$ 使得线性组合为零：
$$\alpha_0 X_0 + \sum_{i=1}^{n-r} \alpha_i (X_0+\eta_i) = 0$$
整理得：
$$(\alpha_0 + \sum_{i=1}^{n-r} \alpha_i) X_0 + \sum_{i=1}^{n-r} \alpha_i \eta_i = 0$$
公式：\alpha_0 X_0 + \sum_{i=1}^{n-r} \alpha_i (X_0+\eta_i) = 0
提示：注意线性组合的系数是标量，向量运算要小心。
步骤 4/7
目标：分情况讨论系数关系
若 $\alpha_0 + \sum_{i=1}^{n-r} \alpha_i \neq 0$，则 $X_0$ 可表示为 $\eta_i$ 的线性组合，即 $X_0 \in \text{span}\{\eta_1,\dots,\eta_{n-r}\}$，这意味着 $AX_0=0$，与 $AX_0=b \neq 0$ 矛盾（除非 $b=0$）。因此，当 $b \neq 0$ 时，必有 $\alpha_0 + \sum_{i=1}^{n-r} \alpha_i = 0$。
提示：这里需要区分 $b=0$ 和 $b \neq 0$ 两种情况。
步骤 5/7
目标：推导系数全为零
由 $\alpha_0 + \sum_{i=1}^{n-r} \alpha_i = 0$ 代入原式得 $\sum_{i=1}^{n-r} \alpha_i \eta_i = 0$。由于 $\eta_1,\dots,\eta_{n-r}$ 线性无关，所以 $\alpha_i = 0$ 对所有 $i=1,\dots,n-r$ 成立。进而 $\alpha_0 = -\sum \alpha_i = 0$。因此所有系数为零，这 $n-r+1$ 个向量线性无关。
公式：\sum_{i=1}^{n-r} \alpha_i \eta_i = 0 \Rightarrow \alpha_i=0
提示：线性无关的定义：系数全为零才为零组合。
步骤 6/7
目标：考虑特殊情况 b=0
若 $b=0$，则方程组为齐次，此时特解 $X_0$ 可取零向量，解空间就是齐次解空间，其最大线性无关向量个数为 $n-r$。因此，一般情况下，解中线性无关的向量个数最多为 $n-r+1$（当 $b \neq 0$ 时），但题目未指定 $b$ 是否为零，通常考虑非齐次情形，答案为 $n-r+1$。
提示：注意题目没有说明 $b$ 是否为零，但通常非齐次线性方程组 $AX=b$ 中 $b$ 可能非零，所以答案取 $n-r+1$。
步骤 7/7
目标：总结答案
综上所述，若方程组有解，则解中线性无关的向量个数最多为 $n-r+1$；若无解，则为0。由于题目未明确 $b$，通常考虑有解情形，且 $r
提示：最终答案应填入 $n-r+1$。
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