📝 电子科技大学 2024年高等代数真题

1．若矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}1 & -1 \\ 1 & 1\end{array}\right), B=\frac{\sqrt{3}}{2} A$ ，则 $\displaystyle \left(\begin{array}{ll}A & \\ & B\end{array}\right)^{8}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

2．设矩阵 $\displaystyle B=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right)$ 为正交矩阵，则矩阵 $\displaystyle A=2 \alpha_{2} \alpha_{2}^{T}+\alpha_{3} \alpha_{3}^{T}+\alpha_{4} \alpha_{4}^{T}$ 的最小多项式为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

3．若矩阵 $A$ 满足 $\displaystyle A^{4}=O$ ，则 $A$ 按照相抵分类一共可以分为 $\displaystyle \_\_\_\_$类．

4．若矩阵 $A$ 为 $\displaystyle m \times n$ 矩阵，且 $\displaystyle r(A)=r<n$ ，则 $\displaystyle A X=b$ 的解中线性无关的向量的个数最多为 $\displaystyle \_\_\_\_$个。

5．设 $A$ 为 4 阶实对称矩阵，三个特征值为 $\displaystyle \lambda_{1}=1, \lambda_{2}=3, \lambda_{3}=4$ ，且 $\displaystyle |A|=-12$ ，其中 $\displaystyle V_{1}, V_{2}, V_{3}$ 分别为 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}$ 特征子空间，则 $\displaystyle \operatorname{dim}\left(\left(V_{1} \oplus V_{2} \oplus V_{3}\right)^{\perp}\right)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

6．设 $\displaystyle \mathscr{A}$ 是 $\displaystyle \operatorname{End}_{F}(V)$ 上的线性变换，且多项式 $\displaystyle f(x)$ 无重根，则 $\displaystyle \operatorname{Im} f(\mathscr{A})+ \operatorname{Im} f^{\prime}(\mathscr{A})=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

7．若二次型

$$
f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)\left(\begin{array}{ccc}
1 & 4 & -1 \\
0 & 2 & -3 \\
1 & -1 & 3
\end{array}\right)\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)^{T}
$$

将二次型 $f$ 化为标准形．