电子科技大学 2024年高等代数第2题
📝 题目
2．设矩阵 $\displaystyle B=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right)$ 为正交矩阵，则矩阵 $\displaystyle A=2 \alpha_{2} \alpha_{2}^{T}+\alpha_{3} \alpha_{3}^{T}+\alpha_{4} \alpha_{4}^{T}$ 的最小多项式为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解正交矩阵性质
已知 $B=(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3)$ 为正交矩阵，则 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 是标准正交向量组，即 $\alpha_i^T \alpha_j = \delta_{ij}$。但题目中 $A$ 的定义出现了 $\alpha_4$，因此需要补充假设：存在 $\alpha_4$ 与 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 正交且为单位向量，使得 $\{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\}$ 构成 $\mathbb{R}^4$ 的一组标准正交基。
公式：$\alpha_i^T \alpha_j = \delta_{ij}$
提示：注意 $\alpha_4$ 是额外引入的，需确保与已有向量正交且单位化。
步骤 2/5
目标：构造正交矩阵并计算相似变换
令 $P = [\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4]$，则 $P$ 是正交矩阵，满足 $P^T P = I$。计算 $P^T A P$，其中 $A = 2\alpha_2 \alpha_2^T + \alpha_3 \alpha_3^T + \alpha_4 \alpha_4^T$。由于 $P^T \alpha_i = e_i$（$e_i$ 是标准单位向量），有 $P^T (\alpha_i \alpha_i^T) P = e_i e_i^T$。因此 $P^T A P = 2 e_2 e_2^T + e_3 e_3^T + e_4 e_4^T = \operatorname{diag}(0, 2, 1, 1)$。
公式：$P^T (\alpha_i \alpha_i^T) P = e_i e_i^T$
提示：注意 $\alpha_1$ 方向没有贡献，特征值为0。
步骤 3/5
目标：确定特征值
由 $P^T A P = \operatorname{diag}(0, 2, 1, 1)$ 可知 $A$ 的特征值为 $0$（单重）、$2$（单重）、$1$（二重）。由于 $A$ 是对称矩阵（实对称），故可对角化，每个特征值的代数重数等于几何重数，Jordan 块均为1阶。
公式：特征多项式为 $\lambda(\lambda-2)(\lambda-1)^2$
提示：注意特征值1是二重根，但可对角化。
步骤 4/5
目标：求最小多项式
最小多项式是特征多项式的最小公倍式，且每个特征值对应的 Jordan 块大小为1，因此最小多项式为 $\lambda(\lambda-2)(\lambda-1)$。因为 $A$ 可对角化，最小多项式无重根，恰为所有不同特征值的一次因式乘积。
公式：$m(\lambda) = \lambda(\lambda-1)(\lambda-2)$
提示：不要误写成 $\lambda(\lambda-2)(\lambda-1)^2$，因为可对角化时最小多项式无重根。
步骤 5/5
目标：验证最小多项式
验证 $m(A)=A(A-I)(A-2I)=0$。由于 $A$ 可对角化且特征值满足 $m(\lambda)=0$，故 $m(A)=0$。同时，任何次数更低的多项式不能使所有特征值零化，因此 $m(\lambda)$ 是最小多项式。
提示：可对角化矩阵的最小多项式无重根。
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