电子科技大学 2024年高等代数第1题
📝 题目
1．若矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}1 & -1 \\ 1 & 1\end{array}\right), B=\frac{\sqrt{3}}{2} A$ ，则 $\displaystyle \left(\begin{array}{ll}A & \\ & B\end{array}\right)^{8}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将矩阵A表示为旋转矩阵的倍数
矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$，其模长为 $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，可写为 $A = \sqrt{2} \begin{pmatrix} \cos 45^\circ & -\sin 45^\circ \\ \sin 45^\circ & \cos 45^\circ \end{pmatrix}$，即 $A = \sqrt{2} R(45^\circ)$，其中 $R(\theta)$ 是旋转矩阵。
公式：$R(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$
提示：注意旋转矩阵的形式，确保符号正确。
步骤 2/5
目标：计算A的幂次
利用旋转矩阵的性质：$R(\theta)^n = R(n\theta)$。因此 $A^2 = (\sqrt{2})^2 R(90^\circ) = 2 \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$，$A^4 = (A^2)^2 = 4 \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = -4I$，$A^8 = (A^4)^2 = 16I$。
公式：$R(\theta)^n = R(n\theta)$
提示：注意 $A^4 = -4I$，平方后得到 $16I$，不要忘记负号。
步骤 3/5
目标：计算B的幂次
由 $B = \frac{\sqrt{3}}{2} A$，则 $B^8 = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^8 A^8 = \left(\frac{3}{4}\right)^4 \cdot 16I = \frac{81}{256} \cdot 16I = \frac{81}{16} I$。
公式：$(kM)^n = k^n M^n$
提示：注意 $\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^8 = \left(\frac{3}{4}\right)^4$，计算时避免指数错误。
步骤 4/5
目标：计算分块矩阵的幂
分块对角矩阵的幂等于各块分别取幂：$\begin{pmatrix} A & 0 \\ 0 & B \end{pmatrix}^8 = \begin{pmatrix} A^8 & 0 \\ 0 & B^8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 16I & 0 \\ 0 & \frac{81}{16}I \end{pmatrix}$，其中 $I$ 是2阶单位矩阵。
公式：$\begin{pmatrix} M & 0 \\ 0 & N \end{pmatrix}^n = \begin{pmatrix} M^n & 0 \\ 0 & N^n \end{pmatrix}$
提示：分块矩阵的幂只适用于对角块，且块必须为方阵。
步骤 5/5
目标：写出最终矩阵
将结果展开为4阶矩阵：$\begin{pmatrix} 16 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{81}{16} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{81}{16} \end{pmatrix}$。
提示：注意 $\frac{81}{16}$ 不要化简为小数，保留分数形式。
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