电子科技大学 2024年高等代数第5题
📝 题目
5．设 $A$ 为 4 阶实对称矩阵，三个特征值为 $\displaystyle \lambda_{1}=1, \lambda_{2}=3, \lambda_{3}=4$ ，且 $\displaystyle |A|=-12$ ，其中 $\displaystyle V_{1}, V_{2}, V_{3}$ 分别为 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}$ 特征子空间，则 $\displaystyle \operatorname{dim}\left(\left(V_{1} \oplus V_{2} \oplus V_{3}\right)^{\perp}\right)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定第四个特征值
设第四个特征值为 $\lambda_4$。由于 $A$ 是4阶实对称矩阵，其特征值的乘积等于行列式 $|A|$。已知三个特征值为 $1,3,4$，且 $|A|=-12$，因此有 $1 \times 3 \times 4 \times \lambda_4 = -12$，解得 $\lambda_4 = -1$。
公式：$|A| = \prod_{i=1}^4 \lambda_i$
提示：注意行列式等于所有特征值的乘积，包括重根。
步骤 2/5
目标：分析特征子空间维数
由于 $A$ 是实对称矩阵，不同特征值对应的特征子空间相互正交，且每个特征值的几何重数等于代数重数。已知四个特征值互异（$1,3,4,-1$），因此每个特征子空间 $V_i$ 的维数均为1。
提示：实对称矩阵可正交对角化，特征值互异时每个特征子空间维数为1。
步骤 3/5
目标：计算直和子空间的维数
$V_1 \oplus V_2 \oplus V_3$ 是三个一维子空间的直和，其维数为 $1+1+1=3$。
公式：$\dim(V_1 \oplus V_2 \oplus V_3) = \dim V_1 + \dim V_2 + \dim V_3$
提示：直和维数等于各子空间维数之和，前提是子空间相互正交（或线性无关）。
步骤 4/5
目标：计算正交补的维数
全空间 $\mathbb{R}^4$ 的维数为4。正交补 $(V_1 \oplus V_2 \oplus V_3)^\perp$ 的维数等于全空间维数减去该子空间维数，即 $4-3=1$。
公式：$\dim(U^\perp) = \dim(\mathbb{R}^n) - \dim(U)$
提示：正交补的维数公式适用于有限维内积空间。
步骤 5/5
目标：得出最终答案
因此，$\dim\left((V_1 \oplus V_2 \oplus V_3)^\perp\right) = 1$。
提示：注意题目中 $V_1, V_2, V_3$ 分别对应特征值 $1,3,4$，不包括 $-1$。
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