电子科技大学 2024年高等代数第6题
📝 题目
6．设 $\displaystyle \mathscr{A}$ 是 $\displaystyle \operatorname{End}_{F}(V)$ 上的线性变换，且多项式 $\displaystyle f(x)$ 无重根，则 $\displaystyle \operatorname{Im} f(\mathscr{A})+ \operatorname{Im} f^{\prime}(\mathscr{A})=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析条件与问题
设 $\dim V = n$，$\mathscr{A} \in \operatorname{End}_F(V)$，$f(x)$ 无重根。则 $f(x)$ 在 $F$ 上可分解为互异的一次因式的乘积：$f(x) = \prod_{i=1}^k (x - \lambda_i)$，其中 $\lambda_i \in F$ 互异。由 Hamilton-Cayley 定理，$f(\mathscr{A})$ 可对角化，且 $V = \bigoplus_{i=1}^k V_{\lambda_i}$，其中 $V_{\lambda_i} = \ker(\mathscr{A} - \lambda_i I)$。
公式：f(x) = \prod_{i=1}^k (x - \lambda_i)
提示：注意 $f(x)$ 无重根意味着所有特征值互异，从而 $f(\mathscr{A})$ 可对角化。
步骤 2/6
目标：分析 $f'(\mathscr{A})$ 在每个特征子空间上的作用
计算 $f'(x) = \sum_{i=1}^k \prod_{j \neq i} (x - \lambda_j)$。在 $V_{\lambda_i}$ 上，$\mathscr{A} - \lambda_j I$（$j \neq i$）可逆，故 $f'(\mathscr{A})$ 在 $V_{\lambda_i}$ 上的限制为 $\prod_{j \neq i} (\lambda_i - \lambda_j) I$，这是一个非零常数。因此 $f'(\mathscr{A})$ 在 $V_{\lambda_i}$ 上可逆。
公式：f'(\mathscr{A})|_{V_{\lambda_i}} = \prod_{j \neq i} (\lambda_i - \lambda_j) I
提示：注意 $\lambda_i - \lambda_j \neq 0$ 因为特征值互异，所以常数非零。
步骤 3/6
目标：确定 $\operatorname{Im} f(\mathscr{A})$
由于 $f(\mathscr{A})$ 在 $V_{\lambda_i}$ 上为零（因为 $f(\lambda_i)=0$），而在其他 $V_{\lambda_j}$（$j \neq i$）上可逆，故 $\operatorname{Im} f(\mathscr{A}) = \bigoplus_{i=1}^k \left( \bigoplus_{j \neq i} V_{\lambda_j} \right)$，即所有 $V_{\lambda_i}$ 中除去一个的直和。
公式：\operatorname{Im} f(\mathscr{A}) = \bigoplus_{i=1}^k \left( \bigoplus_{j \neq i} V_{\lambda_j} \right)
提示：注意 $f(\mathscr{A})$ 在每个 $V_{\lambda_i}$ 上为零，所以像空间不包含该子空间。
步骤 4/6
目标：确定 $\operatorname{Im} f'(\mathscr{A})$
由于 $f'(\mathscr{A})$ 在每个 $V_{\lambda_i}$ 上可逆，因此 $f'(\mathscr{A})$ 是 $V$ 上的可逆线性变换，从而 $\operatorname{Im} f'(\mathscr{A}) = V$。
公式：\operatorname{Im} f'(\mathscr{A}) = V
提示：可逆线性变换的像为整个空间。
步骤 5/6
目标：计算和空间
由于 $\operatorname{Im} f'(\mathscr{A}) = V$，显然 $\operatorname{Im} f(\mathscr{A}) + \operatorname{Im} f'(\mathscr{A}) = \operatorname{Im} f(\mathscr{A}) + V = V$。
提示：任何子空间与全空间的和仍是全空间。
步骤 6/6
目标：得出结论
因此，$\operatorname{Im} f(\mathscr{A}) + \operatorname{Im} f'(\mathscr{A}) = V$。
提示：最终答案就是 $V$。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。