电子科技大学 2024年高等代数第7题
📝 题目
7．若二次型
$$
f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)\left(\begin{array}{ccc}
1 & 4 & -1 \\
0 & 2 & -3 \\
1 & -1 & 3
\end{array}\right)\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)^{T}
$$
将二次型 $f$ 化为标准形．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：对称化二次型矩阵
二次型 $f = \mathbf{x}^T A \mathbf{x}$ 中，$A$ 必须是对称矩阵。题目给出的矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 4 & -1 \\ 0 & 2 & -3 \\ 1 & -1 & 3 \end{pmatrix}$ 不是对称的，因此取其对称部分 $B = \frac{A + A^T}{2}$。计算得 $B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & -2 \\ 0 & -2 & 3 \end{pmatrix}$。
公式：B = \frac{A + A^T}{2}
提示：注意二次型矩阵必须是对称的，否则需要对称化。
步骤 2/5
目标：写出二次型表达式
由对称矩阵 $B$ 写出二次型：$f = x_1^2 + 2x_2^2 + 3x_3^2 + 4x_1x_2 - 4x_2x_3$。注意交叉项系数为 $2$ 倍矩阵对应元素。
提示：交叉项系数：$x_i x_j$ 的系数为 $2b_{ij}$（$i \neq j$）。
步骤 3/5
目标：配方法第一步：处理 $x_1$
将含 $x_1$ 的项集中：$f = x_1^2 + 4x_1x_2 + 2x_2^2 - 4x_2x_3 + 3x_3^2$。配方：$x_1^2 + 4x_1x_2 = (x_1 + 2x_2)^2 - 4x_2^2$，代入得 $f = (x_1 + 2x_2)^2 - 4x_2^2 + 2x_2^2 - 4x_2x_3 + 3x_3^2 = (x_1 + 2x_2)^2 - 2x_2^2 - 4x_2x_3 + 3x_3^2$。
公式：(x_1 + 2x_2)^2 = x_1^2 + 4x_1x_2 + 4x_2^2
提示：配方时注意添加和减去适当的项。
步骤 4/5
目标：配方法第二步：处理 $x_2$
将含 $x_2$ 的项集中：$-2x_2^2 - 4x_2x_3 = -2(x_2^2 + 2x_2x_3)$。配方：$x_2^2 + 2x_2x_3 = (x_2 + x_3)^2 - x_3^2$，代入得 $f = (x_1 + 2x_2)^2 - 2[(x_2 + x_3)^2 - x_3^2] + 3x_3^2 = (x_1 + 2x_2)^2 - 2(x_2 + x_3)^2 + 2x_3^2 + 3x_3^2 = (x_1 + 2x_2)^2 - 2(x_2 + x_3)^2 + 5x_3^2$。
公式：(x_2 + x_3)^2 = x_2^2 + 2x_2x_3 + x_3^2
提示：注意系数 $-2$ 的处理。
步骤 5/5
目标：作线性替换得到标准形
令 $y_1 = x_1 + 2x_2$, $y_2 = x_2 + x_3$, $y_3 = x_3$，则 $f = y_1^2 - 2y_2^2 + 5y_3^2$。该替换是可逆的，因为变换矩阵的行列式非零。
提示：线性替换必须可逆，即变换矩阵满秩。
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