福州大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
1．（5 分）设 $A$ 是 $n$ 阶正交矩阵且是反对称矩阵，则 $A^{2}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：利用正交矩阵的定义
因为 $A$ 是 $n$ 阶正交矩阵，根据定义有 $A^T A = I$，其中 $I$ 是 $n$ 阶单位矩阵。
公式：A^T A = I
提示：注意正交矩阵的定义是 $A^T A = I$，而不是 $AA^T = I$，但两者等价。
步骤 2/6
目标：利用反对称矩阵的定义
因为 $A$ 是反对称矩阵，根据定义有 $A^T = -A$。
公式：A^T = -A
提示：反对称矩阵的主对角线元素必须为零，但本题不需要用到。
步骤 3/6
目标：将反对称条件代入正交条件
将 $A^T = -A$ 代入 $A^T A = I$，得到 $(-A)A = I$。
提示：代入时注意矩阵乘法的顺序，$(-A)A = -A^2$。
步骤 4/6
目标：化简矩阵乘积
计算 $(-A)A = -A^2$，因此有 $-A^2 = I$。
公式：-A^2 = I
提示：矩阵乘法中，$(-A)A = - (A A) = -A^2$，因为标量乘法可交换。
步骤 5/6
目标：求解 $A^2$
将等式 $-A^2 = I$ 两边同时乘以 $-1$，得到 $A^2 = -I$。
公式：A^2 = -I
提示：注意 $-I$ 是负的单位矩阵，不是 $-1$。
步骤 6/6
目标：得出最终答案
因此，$A^2 = -I$。
提示：答案应写为 $-I$，表示 $n$ 阶负单位矩阵。
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