📝 福州大学 2026年高等代数真题
第0题
1．（5 分）设 $A$ 是 $n$ 阶正交矩阵且是反对称矩阵，则 $A^{2}=$ $\_\_\_\_$ ．
第0题
2．（5 分）设 $\varphi:\binom{a}{b} \mapsto\binom{2 a+b}{a+2 b}$ ，则 $\varphi$ 在基 $\binom{1}{0},\binom{1}{1}$ 下的矩阵为 $\_\_\_\_$ ．
第0题
3．（5 分）设 $\alpha=(1,1,1,1)^{\mathrm{T}} \in \mathbb{R}^{4}$ ，子空间
$$
W=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)^{\mathrm{T}} \mid x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0\right\} .
$$
则 $\alpha$ 到 $W$ 的距离为 $\_\_\_\_$ ．
$$
W=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)^{\mathrm{T}} \mid x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0\right\} .
$$
则 $\alpha$ 到 $W$ 的距离为 $\_\_\_\_$ ．
第0题
4．（5 分）设 $A$ 是 $s \times t$ 矩阵，$B$ 是 $t \times s$ 矩阵，若 $\left(\begin{array}{ll}C & A \\ B & O\end{array}\right)$ 可逆，则 $A$ 的秩为 $\_\_\_\_$ ．
第0题
5．（5 分）设 $f(x)=\prod_{j=1}^{2026}\left(x^{2}+j\right)^{j^{2}+j+1}, d(x)$ 是 $f(x)$ 与 $f^{\prime}(x)$ 的首一最大公因式，则 $f(x)$ 除以 $d(x)$的商为 $\_\_\_\_$ ．
第0题
6．（5 分）计算 $n$ 阶行列式
$$
\left|\begin{array}{cccc}
1-a_{1}^{2} & -a_{1} a_{2} & \cdots & -a_{1} a_{n} \\
-a_{2} a_{1} & 1-a_{2}^{2} & \cdots & -a_{2} a_{n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
-a_{n} a_{1} & -a_{n} a_{2} & \cdots & 1-a_{n}^{2}
\end{array}\right| .
$$
$$
\left|\begin{array}{cccc}
1-a_{1}^{2} & -a_{1} a_{2} & \cdots & -a_{1} a_{n} \\
-a_{2} a_{1} & 1-a_{2}^{2} & \cdots & -a_{2} a_{n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
-a_{n} a_{1} & -a_{n} a_{2} & \cdots & 1-a_{n}^{2}
\end{array}\right| .
$$
第0题
7．（5分）设 $n$ 阶方阵 $A$ 有 $n$ 个不同的特征值 $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}$ ，求 $A$ 的极小多项式．
第0题
8．（5 分）设 $n$ 阶方阵
$$
A=\left(\begin{array}{ccccc}
1 & -1 & 1 & \cdots & (-1)^{n} \\
& 1 & -1 & \ddots & \vdots \\
& & 1 & \ddots & 1 \\
& & & \ddots & -1 \\
& & & & 1
\end{array}\right)
$$
求 $A$ 的 Jordan 标准型．
$$
A=\left(\begin{array}{ccccc}
1 & -1 & 1 & \cdots & (-1)^{n} \\
& 1 & -1 & \ddots & \vdots \\
& & 1 & \ddots & 1 \\
& & & \ddots & -1 \\
& & & & 1
\end{array}\right)
$$
求 $A$ 的 Jordan 标准型．
第0题
9．（5 分）设 $A, B$ 是 $n$ 阶正定矩阵，试问：$A B$ 是否必为正定矩阵？若是，请说明理由；若否，请给出反例．
第0题
10．（5 分）设 $A, B$ 是 $n$ 阶实方阵，且存在 $n$ 阶复可逆矩阵 $P$ 使得 $B=P^{-1} A P$ ，试问：是否存在 $n$ 阶实可逆矩阵 $Q$ 使得 $B=Q^{-1} A Q$ ？若是，请说明理由；若否，请给出反例．
第0题
11．（12 分）求多项式 $f(x)=x^{3}-1$ 和 $g(x)=x^{5}-1$ 的首一最大公因式 $d(x)$ ，并求多项式 $u(x), v(x)$ ，使得 $d(x)=u(x) f(x)+v(x) g(x)$ ．
第0题
12．（12 分）用正交线性替换化二次型
$$
f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}-2 x_{2}^{2}-2 x_{3}^{2}-4 x_{1} x_{2}+4 x_{1} x_{3}+8 x_{2} x_{3}
$$
（注：这里有不同版本，有同学回忆最后两项为 $-4 x_{1} x_{3}+8 x_{2} x_{3}$ 或 $8 x_{1} x_{3}+4 x_{2} x_{3}$ ）为标准型，并写出所用的正交线性替换和所得的标准型。
$$
f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}-2 x_{2}^{2}-2 x_{3}^{2}-4 x_{1} x_{2}+4 x_{1} x_{3}+8 x_{2} x_{3}
$$
（注：这里有不同版本，有同学回忆最后两项为 $-4 x_{1} x_{3}+8 x_{2} x_{3}$ 或 $8 x_{1} x_{3}+4 x_{2} x_{3}$ ）为标准型，并写出所用的正交线性替换和所得的标准型。
第0题
13．（12 分）设 $A, B$ 是 $n$ 阶方阵，满足 $A B=B A$ ．证明：若 $A$ 是可逆矩阵，$B$ 是幂零矩阵（即存在正整数 $k$ 使得 $B^{k}=O$ ），则 $A+B$ 可逆．
第0题
14．（12 分）设 $\eta$ 是非齐次线性方程组 $A X=\beta$ 的一个特解，$\xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{n-\tau}$ 是相应齐次线性方程组 $A X=0$ 的一个基础解系。证明：
（1）向量组 $\eta, \eta+\xi_{1}, \eta+\xi_{2}, \cdots, \eta+\xi_{n-r}$ 线性无关．
（2）$\gamma$ 是 $A X=\beta$ 的一个解的充分必要条件是存在 $c_{0}, c_{1}, \cdots, c_{n-r} \in \mathbb{F}$ 使得
$$
\gamma=c_{0} \eta+c_{1}\left(\eta+\xi_{1}\right)+c_{2}\left(\eta+\xi_{2}\right)+\cdots+c_{n-r}\left(\eta+\xi_{n-r}\right) .
$$
其中 $c_{0}+c_{1}+\cdots+c_{n-r}=1$ ．
（1）向量组 $\eta, \eta+\xi_{1}, \eta+\xi_{2}, \cdots, \eta+\xi_{n-r}$ 线性无关．
（2）$\gamma$ 是 $A X=\beta$ 的一个解的充分必要条件是存在 $c_{0}, c_{1}, \cdots, c_{n-r} \in \mathbb{F}$ 使得
$$
\gamma=c_{0} \eta+c_{1}\left(\eta+\xi_{1}\right)+c_{2}\left(\eta+\xi_{2}\right)+\cdots+c_{n-r}\left(\eta+\xi_{n-r}\right) .
$$
其中 $c_{0}+c_{1}+\cdots+c_{n-r}=1$ ．
第0题
15．（12 分）设 $A, B$ 是 $n$ 阶实对称矩阵，证明：存在正交矩阵 $Q$ 使得 $B=Q^{-1} A Q$ 的充分必要条件是 $A$ 与 $B$ 的特征多项式相同．
第0题
16．（ 12 分）设 $A, B$ 是 $n$ 阶正定矩阵，若 $\operatorname{det}(x A-B)=0$ 的根全是 1 ，证明：$A=B$ ．
第0题
17．（14 分）设 $V$ 是 $n$ 维线性空间，$\varphi$ 是 $V$ 上的线性变换，证明：存在正整数 $m$ ，使得
$$
V=\operatorname{Ker}\left(\varphi^{m}\right) \oplus \operatorname{Im}\left(\varphi^{m}\right)
$$
且 $\operatorname{Ker}\left(\varphi^{m}\right), \operatorname{Im}\left(\varphi^{m}\right)$ 都是 $\varphi$ 的不变子空间。
$$
V=\operatorname{Ker}\left(\varphi^{m}\right) \oplus \operatorname{Im}\left(\varphi^{m}\right)
$$
且 $\operatorname{Ker}\left(\varphi^{m}\right), \operatorname{Im}\left(\varphi^{m}\right)$ 都是 $\varphi$ 的不变子空间。
第0题
18．（14 分）设 $V$ 是复数域上的 $n$ 维线性空间，$\varphi$ 是 $V$ 上的线性变换，$f_{\varphi}(\lambda), m_{\varphi}(\lambda)$ 分别是 $\varphi$ 的特征多项式和极小多项式．证明：
（1）存在 $\alpha \in V$ 使得 $m_{\varphi}(\lambda)=m_{\varphi, \alpha}(\lambda)$ ，其中 $m_{\varphi, \alpha}(\lambda)$ 是集合 $\{f(\lambda) \in \mathbb{C}[\lambda] \mid f(\varphi) \alpha=0\}$ 中次数最小的首一多项式．
（2）设 $\psi$ 是 $V$ 上的线性变换，若 $f_{\varphi}(\lambda)=m_{\varphi}(\lambda)$ ，则 $\varphi \psi=\psi \varphi \Leftrightarrow$ 存在 $f(\lambda) \in \mathbb{C}[\lambda]$ ，使得 $\psi=f(\varphi)$ ．
（1）存在 $\alpha \in V$ 使得 $m_{\varphi}(\lambda)=m_{\varphi, \alpha}(\lambda)$ ，其中 $m_{\varphi, \alpha}(\lambda)$ 是集合 $\{f(\lambda) \in \mathbb{C}[\lambda] \mid f(\varphi) \alpha=0\}$ 中次数最小的首一多项式．
（2）设 $\psi$ 是 $V$ 上的线性变换，若 $f_{\varphi}(\lambda)=m_{\varphi}(\lambda)$ ，则 $\varphi \psi=\psi \varphi \Leftrightarrow$ 存在 $f(\lambda) \in \mathbb{C}[\lambda]$ ，使得 $\psi=f(\varphi)$ ．