福州大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
15．（12 分）设 $A, B$ 是 $n$ 阶实对称矩阵，证明：存在正交矩阵 $Q$ 使得 $B=Q^{-1} A Q$ 的充分必要条件是 $A$ 与 $B$ 的特征多项式相同．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：必要性证明
若存在正交矩阵 $Q$ 使得 $B = Q^{-1} A Q$，则 $A$ 与 $B$ 相似。相似矩阵具有相同的特征多项式，因此 $A$ 与 $B$ 的特征多项式相同。
公式：B = Q^{-1} A Q
提示：注意正交矩阵满足 $Q^{-1} = Q^T$，但此处仅用到相似关系。
步骤 2/6
目标：充分性前提：特征多项式相同
设 $A$ 与 $B$ 的特征多项式相同，均为 $f(\lambda)$。由于 $A, B$ 是实对称矩阵，它们均可正交对角化，即存在正交矩阵 $P, R$ 使得 $P^{-1} A P = \Lambda$，$R^{-1} B R = \Lambda$，其中 $\Lambda = \operatorname{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n)$ 是特征值（含重数）构成的对角矩阵。
公式：P^{-1} A P = \Lambda, \quad R^{-1} B R = \Lambda
提示：实对称矩阵的特征值均为实数，且不同特征值对应的特征向量正交，因此可正交对角化。
步骤 3/6
目标：推导B与A的关系
由 $P^{-1} A P = \Lambda$ 得 $A = P \Lambda P^{-1}$，由 $R^{-1} B R = \Lambda$ 得 $B = R \Lambda R^{-1}$。于是 $B = R (P^{-1} A P) R^{-1} = (R P^{-1}) A (P R^{-1})$。
公式：B = (R P^{-1}) A (P R^{-1})
提示：注意矩阵乘法的结合律，以及 $P^{-1}$ 和 $R^{-1}$ 的运算顺序。
步骤 4/6
目标：构造正交矩阵Q
令 $Q = P R^{-1}$，则 $Q^{-1} = (P R^{-1})^{-1} = R P^{-1}$，因此 $B = Q^{-1} A Q$。
公式：Q = P R^{-1}, \quad B = Q^{-1} A Q
提示：注意 $Q^{-1}$ 的计算：$(P R^{-1})^{-1} = R P^{-1}$。
步骤 5/6
目标：验证Q是正交矩阵
由于 $P$ 和 $R$ 是正交矩阵，有 $P^{-1} = P^T$，$R^{-1} = R^T$。则 $Q = P R^T$，且 $Q^T Q = (P R^T)^T (P R^T) = R P^T P R^T = R R^T = I$，故 $Q$ 是正交矩阵。
公式：Q^T Q = I
提示：正交矩阵的定义是 $Q^T Q = I$，注意 $P^T P = I$ 和 $R R^T = I$。
步骤 6/6
目标：总结充分必要条件
因此，存在正交矩阵 $Q$ 使得 $B = Q^{-1} A Q$ 的充分必要条件是 $A$ 与 $B$ 的特征多项式相同。
提示：必要性由相似矩阵性质得到，充分性通过正交对角化构造得到。
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