福州大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
11．（12 分）求多项式 $f(x)=x^{3}-1$ 和 $g(x)=x^{5}-1$ 的首一最大公因式 $d(x)$ ，并求多项式 $u(x), v(x)$ ，使得 $d(x)=u(x) f(x)+v(x) g(x)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：因式分解多项式
首先，对 $f(x)=x^3-1$ 和 $g(x)=x^5-1$ 进行因式分解：
$$x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$$
$$x^5-1=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)$$
观察到 $x-1$ 是公因式。
公式：$a^n-1=(a-1)(a^{n-1}+a^{n-2}+\cdots+1)$
提示：注意因式分解公式的正确使用，特别是符号。
步骤 2/7
目标：判断最大公因式
检查 $x^2+x+1$ 是否整除 $x^5-1$。利用单位根：设 $\omega = e^{2\pi i/3}$，则 $\omega^3=1$，$\omega \neq 1$，且 $\omega^2+\omega+1=0$。计算 $\omega^5-1 = \omega^2-1$，由于 $\omega^2-1 \neq 0$，故 $x^2+x+1$ 不整除 $x^5-1$。因此最大公因式为 $x-1$，即 $d(x)=x-1$。
提示：利用单位根判断整除性时，需确保根不是公因式的根。
步骤 3/7
目标：辗转相除法第一步
用 $g(x)=x^5-1$ 除以 $f(x)=x^3-1$：
$$x^5-1 = x^2 \cdot (x^3-1) + (x^2-1)$$
余式为 $r_1(x)=x^2-1$。
公式：多项式除法：$A(x)=Q(x)B(x)+R(x)$
提示：注意多项式除法中，商和余式的次数要准确。
步骤 4/7
目标：辗转相除法第二步
用 $f(x)=x^3-1$ 除以 $r_1(x)=x^2-1$：
$$x^3-1 = x \cdot (x^2-1) + (x-1)$$
余式为 $r_2(x)=x-1$。
提示：确保余式次数小于除式次数。
步骤 5/7
目标：辗转相除法第三步
用 $r_1(x)=x^2-1$ 除以 $r_2(x)=x-1$：
$$x^2-1 = (x+1)(x-1) + 0$$
余式为0，故最大公因式为 $x-1$。
提示：辗转相除法最后非零余式即为最大公因式。
步骤 6/7
目标：回代求组合系数
从第二步开始回代：
由第二步：$x-1 = (x^3-1) - x(x^2-1)$
由第一步：$x^2-1 = (x^5-1) - x^2(x^3-1)$
代入得：
$$x-1 = (x^3-1) - x[(x^5-1) - x^2(x^3-1)] = (x^3-1) - x(x^5-1) + x^3(x^3-1) = (1+x^3)(x^3-1) - x(x^5-1)$$
因此 $u(x)=1+x^3$，$v(x)=-x$。
公式：Bezout等式：$d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x)$
提示：回代时注意符号和合并同类项，避免计算错误。
步骤 7/7
目标：验证结果
验证 $d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x)$：
$$(x^3+1)(x^3-1) - x(x^5-1) = (x^6-1) - (x^6-x) = x-1$$
结果正确。
提示：验证是确保答案正确的重要步骤。
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