福州大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
6．（5 分）计算 $n$ 阶行列式
$$
\left|\begin{array}{cccc}
1-a_{1}^{2} & -a_{1} a_{2} & \cdots & -a_{1} a_{n} \\
-a_{2} a_{1} & 1-a_{2}^{2} & \cdots & -a_{2} a_{n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
-a_{n} a_{1} & -a_{n} a_{2} & \cdots & 1-a_{n}^{2}
\end{array}\right| .
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：识别矩阵结构
观察行列式，发现其矩阵形式为 $I - \mathbf{a}\mathbf{a}^T$，其中 $\mathbf{a} = (a_1, a_2, \dots, a_n)^T$ 是列向量，$\mathbf{a}\mathbf{a}^T$ 是外积矩阵。因此行列式可写为 $D_n = \det(I - \mathbf{a}\mathbf{a}^T)$。
提示：注意矩阵的对角线元素是 $1-a_i^2$，非对角线元素是 $-a_i a_j$，这正好对应 $I - \mathbf{a}\mathbf{a}^T$。
步骤 2/4
目标：应用矩阵行列式引理
矩阵行列式引理：对于可逆矩阵 $A$ 和列向量 $u, v$，有 $\det(A + uv^T) = \det(A)(1 + v^T A^{-1} u)$。这里取 $A = I$，$u = -\mathbf{a}$，$v = \mathbf{a}$，则 $D_n = \det(I + (-\mathbf{a})\mathbf{a}^T) = 1 + \mathbf{a}^T (-\mathbf{a}) = 1 - \mathbf{a}^T \mathbf{a}$。
公式：$\det(I + uv^T) = 1 + v^T u$
提示：注意 $u$ 和 $v$ 的符号：$u = -\mathbf{a}$，$v = \mathbf{a}$，所以 $v^T u = \mathbf{a}^T (-\mathbf{a}) = -\mathbf{a}^T \mathbf{a}$。
步骤 3/4
目标：计算内积
计算 $\mathbf{a}^T \mathbf{a} = \sum_{i=1}^n a_i^2$，因此 $D_n = 1 - \sum_{i=1}^n a_i^2$。
提示：内积是各分量平方和，注意不要遗漏平方。
步骤 4/4
目标：得出最终结果
所以 $n$ 阶行列式的值为 $1 - \sum_{i=1}^n a_i^2$。
提示：结果与 $n$ 无关，只依赖于 $a_i$ 的平方和。
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