福州大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
8．（5 分）设 $n$ 阶方阵
$$
A=\left(\begin{array}{ccccc}
1 & -1 & 1 & \cdots & (-1)^{n} \\
& 1 & -1 & \ddots & \vdots \\
& & 1 & \ddots & 1 \\
& & & \ddots & -1 \\
& & & & 1
\end{array}\right)
$$
求 $A$ 的 Jordan 标准型．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：确定特征值
矩阵 $A$ 是上三角矩阵，主对角线元素全为1，因此特征值全为1。
提示：上三角矩阵的特征值即为主对角线元素。
步骤 2/6
目标：构造幂零矩阵 N
令 $N = A - I$，则 $N$ 是严格上三角矩阵，其 $(i,j)$ 元素（$i
公式：N = A - I
提示：注意 $N$ 的次对角线元素全为 $-1$，其余上三角元素为 $\pm 1$。
步骤 3/6
目标：计算 N 的幂次
计算 $N^k$。由于 $N$ 是严格上三角矩阵，$N^k$ 的非零元素仅出现在第 $k$ 条上对角线及更上方。具体地，$N^k$ 的 $(i,j)$ 元素（$j-i \geq k$）为 $(-1)^{j-i} \binom{j-i-1}{k-1}$。可以证明 $N^{n-1} \neq 0$ 但 $N^n = 0$，因此 $N$ 的幂零指数为 $n$。
公式：(N^k)_{ij} = (-1)^{j-i} \binom{j-i-1}{k-1}, \quad j-i \geq k
提示：注意组合数的定义，当 $j-i-1 < k-1$ 时元素为0。
步骤 4/6
目标：计算秩的序列
计算 $\operatorname{rank}(N^k)$。由于 $N^{n-1}$ 只有 $(1,n)$ 位置非零（值为 $(-1)^{n-1}$），所以 $\operatorname{rank}(N^{n-1}) = 1$。类似地，$N^{n-2}$ 的非零元素位于第 $n-2$ 条上对角线，共有2个非零元素（位置 $(1,n-1)$ 和 $(2,n)$），且线性无关，所以 $\operatorname{rank}(N^{n-2}) = 2$。依此类推，$\operatorname{rank}(N^k) = n-k$ 对于 $k=1,\dots,n-1$，且 $\operatorname{rank}(N^0) = n$。
公式：\operatorname{rank}(N^k) = n - k, \quad k = 0,1,\dots,n-1
提示：注意 $N^0 = I$，秩为 $n$。
步骤 5/6
目标：确定 Jordan 块结构
对于特征值 $\lambda=1$，Jordan 块的大小由 $\operatorname{rank}(N^{k-1}) - \operatorname{rank}(N^k)$ 决定。计算：$\operatorname{rank}(N^{k-1}) - \operatorname{rank}(N^k) = (n-(k-1)) - (n-k) = 1$ 对于 $k=1,\dots,n$。这意味着每个大小的 Jordan 块恰好有一个，且最大块大小为 $n$。因此，Jordan 标准型只有一个 $n$ 阶 Jordan 块。
公式：\operatorname{rank}(N^{k-1}) - \operatorname{rank}(N^k) = \text{大小至少为 } k \text{ 的 Jordan 块个数}
提示：注意公式中 $k$ 从1到 $n$，且 $\operatorname{rank}(N^0)=n$。
步骤 6/6
目标：写出 Jordan 标准型
因此，$A$ 的 Jordan 标准型是一个 $n$ 阶 Jordan 块，记为 $J_n(1)$：
$$ J = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & 1 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \end{pmatrix} $$
提示：Jordan 块的主对角线为1，次对角线为1，其余为0。
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