福州大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
16．（ 12 分）设 $A, B$ 是 $n$ 阶正定矩阵，若 $\operatorname{det}(x A-B)=0$ 的根全是 1 ，证明：$A=B$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：理解题意并设根
设 $\lambda$ 是 $\det(xA - B)=0$ 的根，则存在非零向量 $\alpha$ 使得 $B\alpha = \lambda A\alpha$。由题意，所有根均为 $1$，故对任意非零向量 $\alpha$，有 $B\alpha = A\alpha$。
公式：$B\alpha = \lambda A\alpha$
提示：注意根对应的特征向量存在性，但这里直接由根全为1推出对任意向量成立需谨慎，实际需利用正定性进行标准化推导。
步骤 2/7
目标：利用正定性进行分解
由于 $A$ 正定，存在可逆矩阵 $P$ 使得 $A = P^T P$。则 $\det(xA - B) = \det(P^T) \det(xI - (P^{-1})^T B P^{-1}) \det(P)$。
公式：$A = P^T P$
提示：注意正定矩阵的分解不唯一，但可逆性保证后续操作。
步骤 3/7
目标：化简特征方程
令 $C = (P^{-1})^T B P^{-1}$，则 $\det(xA - B)=0$ 的根即 $\det(xI - C)=0$ 的根。由于 $B$ 正定，$C$ 也是正定矩阵。
公式：$C = (P^{-1})^T B P^{-1}$
提示：注意 $C$ 的正定性：$B$ 正定且 $P$ 可逆，故 $C$ 正定。
步骤 4/7
目标：利用根全为1推出C的特征值全为1
由题意，$\det(xI - C)=0$ 的根全为1，即 $C$ 的特征值全为1。
提示：特征值全为1是正定矩阵的特殊情况。
步骤 5/7
目标：由特征值全为1推出C为单位矩阵
由于 $C$ 是正定矩阵，且特征值全为1，则 $C$ 正交相似于单位矩阵，即存在正交矩阵 $Q$ 使得 $C = Q^T I Q = I$。因此 $C = I$。
公式：$C = I$
提示：正定矩阵可对角化，且特征值全为1时必为单位矩阵。
步骤 6/7
目标：反推得到A=B
由 $C = I$ 得 $(P^{-1})^T B P^{-1} = I$，即 $B = P^T P = A$。
公式：$B = P^T P = A$
提示：注意矩阵乘法顺序：$(P^{-1})^T B P^{-1} = I$ 左乘 $P^T$ 右乘 $P$ 得 $B = P^T P$。
步骤 7/7
目标：结论
因此，$A = B$。
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