福州大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
9．（5 分）设 $A, B$ 是 $n$ 阶正定矩阵，试问：$A B$ 是否必为正定矩阵？若是，请说明理由；若否，请给出反例．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解正定矩阵的定义
正定矩阵是指对称且所有特征值大于0的矩阵。即若$A$是$n$阶正定矩阵，则$A^T=A$且对任意非零向量$x\in\mathbb{R}^n$，有$x^TAx>0$。
公式：$A^T=A$且$x^TAx>0$对任意$x\neq0$
提示：注意正定矩阵必须是对称的，这是定义的一部分。
步骤 2/6
目标：分析乘积矩阵的对称性
考虑两个正定矩阵$A$和$B$的乘积$AB$。其转置为$(AB)^T=B^TA^T=BA$。由于$A$和$B$对称，但$AB$对称当且仅当$AB=BA$，即$A$与$B$可交换。一般情况下，两个正定矩阵不一定可交换，因此$AB$不一定对称。
公式：$(AB)^T=BA$
提示：不要默认乘积矩阵对称，需要检查交换性。
步骤 3/6
目标：考虑乘积矩阵的正定性条件
即使$AB$对称，其正定性还需要所有特征值大于0。但两个正定矩阵的乘积的特征值不一定全为正。例如，若$A$和$B$都是正定，则$AB$的特征值等于$A^{-1/2}(AB)A^{1/2}=A^{1/2}BA^{1/2}$的特征值，而$A^{1/2}BA^{1/2}$是正定的，所以特征值全为正。但前提是$AB$对称，否则特征值可能为复数或非正。
公式：$AB$与$A^{1/2}BA^{1/2}$相似当$A$可逆
提示：注意相似变换要求$A$可逆，正定矩阵可逆。
步骤 4/6
目标：构造反例说明不一定正定
取$A=\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}$，$B=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$。$A$和$B$都是对称正定矩阵（$A$的特征值为1和2，$B$的特征值为1和3）。计算$AB=\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&1\\2&4\end{pmatrix}$，该矩阵不对称，因此不是正定矩阵。
公式：矩阵乘法
提示：反例中$AB$不对称，直接否定正定性。
步骤 5/6
目标：验证反例中矩阵的正定性
验证$A$：$A$对称，特征多项式$\det(\lambda I-A)=(\lambda-1)(\lambda-2)$，特征值1和2>0，故正定。验证$B$：$B$对称，特征多项式$\det(\lambda I-B)=(\lambda-2)^2-1=(\lambda-1)(\lambda-3)$，特征值1和3>0，故正定。而$AB$不对称，故不正定。
公式：特征多项式
提示：计算特征值时注意矩阵对称性。
步骤 6/6
目标：总结结论
因此，两个正定矩阵的乘积不一定正定，因为乘积可能不对称，即使对称也可能不正定（但若对称则必正定，因为$AB$与$A^{1/2}BA^{1/2}$相似，后者正定）。所以原命题不成立。
提示：注意区分“不一定”与“一定不”。
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