福州大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
7．（5分）设 $n$ 阶方阵 $A$ 有 $n$ 个不同的特征值 $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}$ ，求 $A$ 的极小多项式．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解特征值互异的含义
已知 $A$ 是 $n$ 阶方阵，且有 $n$ 个不同的特征值 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n$。这意味着每个特征值的代数重数和几何重数均为1，且特征向量线性无关。
提示：注意：特征值互异是后续结论的关键条件。
步骤 2/6
目标：判断矩阵可对角化
由于 $A$ 有 $n$ 个不同的特征值，每个特征值对应的特征子空间维数为1，且所有特征向量线性无关，因此 $A$ 可对角化。即存在可逆矩阵 $P$ 使得 $P^{-1}AP = \operatorname{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n)$。
公式：可对角化条件：$n$ 个不同特征值 $\Rightarrow$ 可对角化
提示：不同特征值保证特征向量线性无关，从而可对角化。
步骤 3/6
目标：回忆极小多项式的定义
极小多项式 $m(\lambda)$ 是满足 $m(A)=0$ 的次数最低的首一多项式。其根为 $A$ 的所有特征值，且每个特征值 $\lambda_i$ 在 $m(\lambda)$ 中的重数等于 $A$ 的Jordan标准形中对应Jordan块的最大阶数。
公式：$m(A)=0$，$m(\lambda)$ 首一且次数最小
提示：极小多项式与特征多项式不同，重数可能更低。
步骤 4/6
目标：分析特征值互异时Jordan块的结构
由于 $A$ 可对角化，其Jordan标准形是对角矩阵，每个特征值 $\lambda_i$ 对应的Jordan块都是1阶的。因此，每个特征值在极小多项式中的重数就是1。
公式：Jordan块阶数为1 $\Rightarrow$ 极小多项式中重数为1
提示：可对角化矩阵的极小多项式无重根。
步骤 5/6
目标：写出极小多项式
极小多项式必须包含所有特征值作为根，且每个根的重数为1。因此，极小多项式为 $m(\lambda) = (\lambda - \lambda_1)(\lambda - \lambda_2)\cdots(\lambda - \lambda_n)$。
公式：$m(\lambda) = \prod_{i=1}^n (\lambda - \lambda_i)$
提示：注意多项式是首一的，且次数为 $n$。
步骤 6/6
目标：验证极小多项式满足条件
由于 $A$ 可对角化，$m(A) = P \cdot \operatorname{diag}(m(\lambda_1), \cdots, m(\lambda_n)) \cdot P^{-1} = 0$，因为每个 $m(\lambda_i)=0$。且任何次数低于 $n$ 的多项式不可能以所有不同特征值为根，因此 $m(\lambda)$ 确实是最小次数的。
公式：$m(A)=P \cdot \operatorname{diag}(m(\lambda_i)) \cdot P^{-1}$
提示：验证时注意对角化性质。
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