福州大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
17．（14 分）设 $V$ 是 $n$ 维线性空间，$\varphi$ 是 $V$ 上的线性变换，证明：存在正整数 $m$ ，使得
$$
V=\operatorname{Ker}\left(\varphi^{m}\right) \oplus \operatorname{Im}\left(\varphi^{m}\right)
$$
且 $\operatorname{Ker}\left(\varphi^{m}\right), \operatorname{Im}\left(\varphi^{m}\right)$ 都是 $\varphi$ 的不变子空间。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：构造核空间和像空间的链
考虑核空间链：$\{0\} \subseteq \operatorname{Ker}(\varphi) \subseteq \operatorname{Ker}(\varphi^2) \subseteq \cdots \subseteq \operatorname{Ker}(\varphi^k) \subseteq \cdots$。由于$V$是$n$维的，链长度有限，存在最小正整数$r$使得$\operatorname{Ker}(\varphi^r) = \operatorname{Ker}(\varphi^{r+1})$。则对任意$m \geq r$，有$\operatorname{Ker}(\varphi^m) = \operatorname{Ker}(\varphi^r)$。类似地，考虑像空间链：$V \supseteq \operatorname{Im}(\varphi) \supseteq \operatorname{Im}(\varphi^2) \supseteq \cdots \supseteq \operatorname{Im}(\varphi^k) \supseteq \cdots$，存在最小正整数$s$使得$\operatorname{Im}(\varphi^s) = \operatorname{Im}(\varphi^{s+1})$，且对任意$m \geq s$，有$\operatorname{Im}(\varphi^m) = \operatorname{Im}(\varphi^s)$。取$m = \max\{r, s\}$，则$\operatorname{Ker}(\varphi^m) = \operatorname{Ker}(\varphi^{2m})$，$\operatorname{Im}(\varphi^m) = \operatorname{Im}(\varphi^{2m})$。
提示：注意核空间链和像空间链的单调性，以及维数有限保证链稳定。
步骤 2/7
目标：证明核与像的交集为零
设$x \in \operatorname{Ker}(\varphi^m) \cap \operatorname{Im}(\varphi^m)$，则存在$y \in V$使得$x = \varphi^m(y)$，且$\varphi^m(x)=0$。于是$\varphi^{2m}(y)=0$，即$y \in \operatorname{Ker}(\varphi^{2m}) = \operatorname{Ker}(\varphi^m)$，从而$x = \varphi^m(y)=0$。因此$\operatorname{Ker}(\varphi^m) \cap \operatorname{Im}(\varphi^m) = \{0\}$。
公式：$\varphi^{2m}(y)=0 \Rightarrow y \in \operatorname{Ker}(\varphi^{2m})$
提示：利用$\operatorname{Ker}(\varphi^{2m}) = \operatorname{Ker}(\varphi^m)$是关键。
步骤 3/7
目标：证明V等于核与像的和
对任意$v \in V$，考虑$\varphi^m(v) \in \operatorname{Im}(\varphi^m)$。由于$\operatorname{Im}(\varphi^m) = \operatorname{Im}(\varphi^{2m})$，存在$u \in V$使得$\varphi^m(v) = \varphi^{2m}(u)$。令$w = v - \varphi^m(u)$，则$\varphi^m(w) = \varphi^m(v) - \varphi^{2m}(u)=0$，故$w \in \operatorname{Ker}(\varphi^m)$。于是$v = w + \varphi^m(u) \in \operatorname{Ker}(\varphi^m) + \operatorname{Im}(\varphi^m)$。因此$V = \operatorname{Ker}(\varphi^m) + \operatorname{Im}(\varphi^m)$。
公式：$\varphi^m(v) = \varphi^{2m}(u)$
提示：注意$\operatorname{Im}(\varphi^m) = \operatorname{Im}(\varphi^{2m})$的运用，以及构造$w$的技巧。
步骤 4/7
目标：得出直和分解
由前两步，$\operatorname{Ker}(\varphi^m) \cap \operatorname{Im}(\varphi^m) = \{0\}$且$V = \operatorname{Ker}(\varphi^m) + \operatorname{Im}(\varphi^m)$，故$V = \operatorname{Ker}(\varphi^m) \oplus \operatorname{Im}(\varphi^m)$。
提示：直和分解要求交为零且和为全空间。
步骤 5/7
目标：证明核空间是φ的不变子空间
对任意$x \in \operatorname{Ker}(\varphi^m)$，有$\varphi^m(x)=0$。则$\varphi^m(\varphi(x)) = \varphi(\varphi^m(x)) = \varphi(0)=0$，故$\varphi(x) \in \operatorname{Ker}(\varphi^m)$。因此$\operatorname{Ker}(\varphi^m)$是$\varphi$的不变子空间。
公式：$\varphi^m(\varphi(x)) = \varphi(\varphi^m(x))$
提示：利用线性变换的可交换性。
步骤 6/7
目标：证明像空间是φ的不变子空间
对任意$y \in \operatorname{Im}(\varphi^m)$，存在$z \in V$使得$y = \varphi^m(z)$。则$\varphi(y) = \varphi^{m+1}(z) = \varphi^m(\varphi(z)) \in \operatorname{Im}(\varphi^m)$。因此$\operatorname{Im}(\varphi^m)$是$\varphi$的不变子空间。
公式：$\varphi(y) = \varphi^m(\varphi(z))$
提示：注意像空间的定义。
步骤 7/7
目标：总结结论
存在正整数$m$使得$V = \operatorname{Ker}(\varphi^m) \oplus \operatorname{Im}(\varphi^m)$，且$\operatorname{Ker}(\varphi^m)$和$\operatorname{Im}(\varphi^m)$都是$\varphi$的不变子空间。
提示：结论中$m$的取法需保证核和像链稳定。
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