福州大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
2．（5 分）设 $\varphi:\binom{a}{b} \mapsto\binom{2 a+b}{a+2 b}$ ，则 $\varphi$ 在基 $\binom{1}{0},\binom{1}{1}$ 下的矩阵为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确基与线性变换
给定基 $\alpha_1=\binom{1}{0}$, $\alpha_2=\binom{1}{1}$，线性变换 $\varphi:\binom{a}{b}\mapsto\binom{2a+b}{a+2b}$。要求 $\varphi$ 在该基下的矩阵，即求 $\varphi(\alpha_1)$ 和 $\varphi(\alpha_2)$ 在基 $\alpha_1,\alpha_2$ 下的坐标。
提示：注意基向量的顺序，矩阵的列对应基向量的像的坐标。
步骤 2/6
目标：计算 φ(α₁)
将 $\alpha_1=\binom{1}{0}$ 代入变换：$\varphi(\alpha_1)=\binom{2\cdot1+0}{1+2\cdot0}=\binom{2}{1}$。
公式：$\varphi\binom{a}{b}=\binom{2a+b}{a+2b}$
提示：代入时注意系数，避免计算错误。
步骤 3/6
目标：将 φ(α₁) 用基表示
设 $\binom{2}{1}=x\alpha_1+y\alpha_2=x\binom{1}{0}+y\binom{1}{1}=\binom{x+y}{y}$。由向量相等得方程组：$x+y=2$, $y=1$。解得 $x=1$, $y=1$。因此坐标为 $\binom{1}{1}$。
公式：线性表示：$\binom{2}{1}=x\binom{1}{0}+y\binom{1}{1}$
提示：解方程组时注意系数对应，不要混淆。
步骤 4/6
目标：计算 φ(α₂)
将 $\alpha_2=\binom{1}{1}$ 代入变换：$\varphi(\alpha_2)=\binom{2\cdot1+1}{1+2\cdot1}=\binom{3}{3}$。
公式：$\varphi\binom{a}{b}=\binom{2a+b}{a+2b}$
提示：代入时注意 a=1, b=1。
步骤 5/6
目标：将 φ(α₂) 用基表示
设 $\binom{3}{3}=x\alpha_1+y\alpha_2=x\binom{1}{0}+y\binom{1}{1}=\binom{x+y}{y}$。由向量相等得方程组：$x+y=3$, $y=3$。解得 $x=0$, $y=3$。因此坐标为 $\binom{0}{3}$。
公式：线性表示：$\binom{3}{3}=x\binom{1}{0}+y\binom{1}{1}$
提示：解方程组时注意 y=3 代入得 x=0。
步骤 6/6
目标：写出矩阵
矩阵的第一列为 $\varphi(\alpha_1)$ 的坐标 $\binom{1}{1}$，第二列为 $\varphi(\alpha_2)$ 的坐标 $\binom{0}{3}$。因此矩阵为 $\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 1 & 3\end{pmatrix}$。
公式：矩阵 $A=(\varphi(\alpha_1),\varphi(\alpha_2))$ 在基下
提示：注意坐标按列排列，不要写成行。
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