福州大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
3．（5 分）设 $\alpha=(1,1,1,1)^{\mathrm{T}} \in \mathbb{R}^{4}$ ，子空间
$$
W=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)^{\mathrm{T}} \mid x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0\right\} .
$$
则 $\alpha$ 到 $W$ 的距离为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解子空间W及其正交补
子空间 $W = \{ (x_1,x_2,x_3,x_4)^T \in \mathbb{R}^4 \mid x_1+x_2+x_3+x_4=0 \}$ 是 $\mathbb{R}^4$ 中所有与向量 $(1,1,1,1)^T$ 正交的向量构成的子空间。因此，$W$ 的正交补 $W^\perp$ 由向量 $(1,1,1,1)^T$ 张成，即 $W^\perp = \operatorname{span}\{(1,1,1,1)^T\}$。
公式：$W^\perp = \{ \alpha \in \mathbb{R}^4 \mid \alpha \cdot x = 0, \forall x \in W \}$
提示：注意 $W$ 是超平面，其法向量为 $(1,1,1,1)^T$。
步骤 2/5
目标：确定α到W的距离公式
对于任意向量 $\alpha$ 和子空间 $W$，$\alpha$ 到 $W$ 的距离定义为 $\|\alpha - \operatorname{proj}_W \alpha\|$，其中 $\operatorname{proj}_W \alpha$ 是 $\alpha$ 在 $W$ 上的正交投影。由于 $\mathbb{R}^4 = W \oplus W^\perp$，有 $\alpha = \operatorname{proj}_W \alpha + \operatorname{proj}_{W^\perp} \alpha$，因此距离也等于 $\|\operatorname{proj}_{W^\perp} \alpha\|$。
公式：$\operatorname{dist}(\alpha, W) = \|\alpha - \operatorname{proj}_W \alpha\| = \|\operatorname{proj}_{W^\perp} \alpha\|$
提示：注意投影到正交补的长度即为距离。
步骤 3/5
目标：计算α在W⊥上的投影
取 $W^\perp$ 的基向量 $v = (1,1,1,1)^T$。$\alpha$ 在 $v$ 上的投影公式为 $\operatorname{proj}_{W^\perp} \alpha = \frac{\alpha \cdot v}{v \cdot v} v$。计算内积：$\alpha \cdot v = 1+1+1+1 = 4$，$v \cdot v = 1+1+1+1 = 4$，所以投影为 $\frac{4}{4} v = v = (1,1,1,1)^T$。
公式：$\operatorname{proj}_{v} \alpha = \frac{\alpha \cdot v}{v \cdot v} v$
提示：注意投影公式中分母是 $v \cdot v$，不要忘记。
步骤 4/5
目标：验证α与W的正交性
由于 $\operatorname{proj}_{W^\perp} \alpha = \alpha$，说明 $\alpha$ 本身属于 $W^\perp$，即 $\alpha \perp W$。实际上，对于任意 $x \in W$，有 $\alpha \cdot x = x_1+x_2+x_3+x_4 = 0$，所以 $\alpha$ 与 $W$ 正交。因此 $\alpha$ 在 $W$ 上的投影为 $0$。
提示：正交性可以简化计算，但需验证。
步骤 5/5
目标：计算距离
距离 $d = \|\alpha - \operatorname{proj}_W \alpha\| = \|\alpha - 0\| = \|\alpha\|$。计算 $\alpha$ 的模长：$\|\alpha\| = \sqrt{1^2+1^2+1^2+1^2} = \sqrt{4} = 2$。因此 $\alpha$ 到 $W$ 的距离为 $2$。
公式：$\|\alpha\| = \sqrt{\sum_{i=1}^4 \alpha_i^2}$
提示：注意模长计算不要遗漏平方和开方。
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