福州大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
18．（14 分）设 $V$ 是复数域上的 $n$ 维线性空间，$\varphi$ 是 $V$ 上的线性变换，$f_{\varphi}(\lambda), m_{\varphi}(\lambda)$ 分别是 $\varphi$ 的特征多项式和极小多项式．证明：
（1）存在 $\alpha \in V$ 使得 $m_{\varphi}(\lambda)=m_{\varphi, \alpha}(\lambda)$ ，其中 $m_{\varphi, \alpha}(\lambda)$ 是集合 $\{f(\lambda) \in \mathbb{C}[\lambda] \mid f(\varphi) \alpha=0\}$ 中次数最小的首一多项式．
（2）设 $\psi$ 是 $V$ 上的线性变换，若 $f_{\varphi}(\lambda)=m_{\varphi}(\lambda)$ ，则 $\varphi \psi=\psi \varphi \Leftrightarrow$ 存在 $f(\lambda) \in \mathbb{C}[\lambda]$ ，使得 $\psi=f(\varphi)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解极小多项式与循环子空间的关系
设 $m_{\varphi}(\lambda)$ 是 $\varphi$ 的极小多项式，则 $m_{\varphi}(\varphi)=0$。将 $V$ 视为 $\mathbb{C}[\lambda]$-模，其中 $\lambda$ 的作用由 $\varphi$ 给出。由循环子空间分解定理，存在向量 $\alpha \in V$ 使得 $V = \mathbb{C}[\varphi]\alpha$，即 $V$ 是由 $\alpha$ 生成的循环子空间。此时 $\alpha$ 的零化多项式就是 $m_{\varphi}(\lambda)$，因此 $m_{\varphi,\alpha}(\lambda)=m_{\varphi}(\lambda)$。
公式：V = \mathbb{C}[\varphi]\alpha
提示：注意循环子空间分解定理的条件：$V$ 是有限维线性空间，$\varphi$ 是线性变换。
步骤 2/6
目标：证明存在性
由循环子空间分解定理，存在 $\alpha \in V$ 使得 $V$ 是 $\alpha$ 的循环子空间。这意味着 $\alpha$ 的极小多项式（即 $m_{\varphi,\alpha}(\lambda)$）等于 $\varphi$ 的极小多项式 $m_{\varphi}(\lambda)$。因此，存在这样的 $\alpha$。
提示：循环子空间分解定理的证明依赖于有理标准形或Jordan标准形，但此处直接引用结论即可。
步骤 3/6
目标：分析（2）中条件 $f_{\varphi}(\lambda)=m_{\varphi}(\lambda)$ 的含义
由于 $f_{\varphi}(\lambda)=m_{\varphi}(\lambda)$，且 $m_{\varphi}(\lambda)$ 整除 $f_{\varphi}(\lambda)$，故 $f_{\varphi}(\lambda)$ 无重根，且每个特征值的代数重数为1。因此 $\varphi$ 可对角化，且特征值互异。设特征值为 $\lambda_1,\dots,\lambda_n$，对应的特征向量为 $\alpha_1,\dots,\alpha_n$，它们构成 $V$ 的一组基。
公式：f_{\varphi}(\lambda)=\prod_{i=1}^n (\lambda-\lambda_i)
提示：注意特征多项式等于极小多项式意味着每个特征值的几何重数等于代数重数，且均为1。
步骤 4/6
目标：证明必要性：若 $\varphi\psi=\psi\varphi$，则存在多项式 $f$ 使得 $\psi=f(\varphi)$
由于 $\varphi$ 与 $\psi$ 可交换，$\psi$ 保持 $\varphi$ 的特征子空间。因为每个特征子空间维数为1，所以 $\alpha_i$ 也是 $\psi$ 的特征向量，设 $\psi(\alpha_i)=\mu_i\alpha_i$。由拉格朗日插值，存在次数 $
公式：f(\lambda_i)=\mu_i
提示：拉格朗日插值多项式存在且唯一，次数不超过 $n-1$。
步骤 5/6
目标：证明充分性：若 $\psi=f(\varphi)$，则 $\varphi\psi=\psi\varphi$
若 $\psi=f(\varphi)$，则 $\varphi\psi = \varphi f(\varphi) = f(\varphi)\varphi = \psi\varphi$，因为多项式与 $\varphi$ 可交换。
公式：\varphi f(\varphi) = f(\varphi)\varphi
提示：多项式与线性变换的乘法可交换是显然的。
步骤 6/6
目标：总结（2）的结论
综合必要性和充分性，当 $f_{\varphi}(\lambda)=m_{\varphi}(\lambda)$ 时，$\varphi\psi=\psi\varphi$ 当且仅当存在多项式 $f(\lambda)\in\mathbb{C}[\lambda]$ 使得 $\psi=f(\varphi)$。
提示：注意条件 $f_{\varphi}=m_{\varphi}$ 是保证 $\varphi$ 可对角化且特征值互异的关键。
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