福州大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
12．（12 分）用正交线性替换化二次型
$$
f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}-2 x_{2}^{2}-2 x_{3}^{2}-4 x_{1} x_{2}+4 x_{1} x_{3}+8 x_{2} x_{3}
$$
（注：这里有不同版本，有同学回忆最后两项为 $-4 x_{1} x_{3}+8 x_{2} x_{3}$ 或 $8 x_{1} x_{3}+4 x_{2} x_{3}$ ）为标准型，并写出所用的正交线性替换和所得的标准型。
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：写出二次型矩阵
根据二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2-2x_2^2-2x_3^2-4x_1x_2+4x_1x_3+8x_2x_3$，得到对称矩阵 $A$。注意交叉项系数一半：$a_{12}=a_{21}=-2$，$a_{13}=a_{31}=2$，$a_{23}=a_{32}=4$。因此
$$A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 2 \\ -2 & -2 & 4 \\ 2 & 4 & -2 \end{pmatrix}.$$
公式：二次型 $f = X^T A X$，其中 $A$ 对称，$a_{ij}=a_{ji}$ 为 $x_ix_j$ 系数的一半。
提示：注意交叉项系数要除以2，且矩阵必须对称。
步骤 2/8
目标：计算特征值
解特征方程 $|\lambda E - A|=0$：
$$|\lambda E - A| = \begin{vmatrix} \lambda-1 & 2 & -2 \\ 2 & \lambda+2 & -4 \\ -2 & -4 & \lambda+2 \end{vmatrix} = 0.$$
计算行列式：
$$= (\lambda-1)[(\lambda+2)^2-16] - 2[2(\lambda+2)-8] + (-2)[-8+2(\lambda+2)]$$
$$= (\lambda-1)(\lambda^2+4\lambda-12) - 2(2\lambda-4) -2(2\lambda-4)$$
$$= (\lambda-1)(\lambda-2)(\lambda+6) - 8(\lambda-2) = (\lambda-2)[(\lambda-1)(\lambda+6)-8]$$
$$= (\lambda-2)(\lambda^2+5\lambda-14) = (\lambda-2)^2(\lambda+7).$$
特征值：$\lambda_1=\lambda_2=2$，$\lambda_3=-7$。
公式：$|\lambda E - A|=0$
提示：行列式计算要仔细，注意因式分解，避免漏根。
步骤 3/8
目标：求特征向量（二重特征值）
对于 $\lambda=2$，解 $(2E-A)X=0$：
$$2E-A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -2 \\ 2 & 4 & -4 \\ -2 & -4 & 4 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$$
基础解系：$\xi_1=(-2,1,0)^T$，$\xi_2=(2,0,1)^T$。
公式：解齐次线性方程组 $(\lambda E - A)X=0$
提示：注意基础解系要线性无关，且个数等于重数。
步骤 4/8
目标：正交化特征向量
使用施密特正交化：
取 $\beta_1 = \xi_1 = (-2,1,0)^T$。
$$\beta_2 = \xi_2 - \frac{(\xi_2,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1 = (2,0,1)^T - \frac{-4}{5}(-2,1,0)^T = \left(\frac{2}{5},\frac{4}{5},1\right)^T.$$
公式：$\beta_k = \xi_k - \sum_{i=1}^{k-1} \frac{(\xi_k,\beta_i)}{(\beta_i,\beta_i)}\beta_i$
提示：正交化时注意内积计算，分母是已正交向量的模平方。
步骤 5/8
目标：单位化特征向量
单位化：
$$\gamma_1 = \frac{\beta_1}{\|\beta_1\|} = \left(-\frac{2}{\sqrt{5}}, \frac{1}{\sqrt{5}}, 0\right)^T,$$
$$\gamma_2 = \frac{\beta_2}{\|\beta_2\|} = \left(\frac{2}{3\sqrt{5}}, \frac{4}{3\sqrt{5}}, \frac{\sqrt{5}}{3}\right)^T.$$
公式：$\gamma = \frac{\beta}{\|\beta\|}$
提示：单位化时注意模长计算，分母有理化可简化。
步骤 6/8
目标：求特征向量（单特征值）
对于 $\lambda=-7$，解 $(-7E-A)X=0$：
$$-7E-A = \begin{pmatrix} -8 & 2 & -2 \\ 2 & -5 & -4 \\ -2 & -4 & -5 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} -8 & 2 & -2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$$
令 $x_3=1$，得 $x_2=-1$，$x_1=\frac{1}{2}$，取 $\xi_3=(1,-2,2)^T$（整数化）。单位化：
$$\gamma_3 = \frac{\xi_3}{\|\xi_3\|} = \left(\frac{1}{3}, -\frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right)^T.$$
公式：解齐次线性方程组 $(\lambda E - A)X=0$
提示：注意不同特征值的特征向量自动正交，无需正交化。
步骤 7/8
目标：构造正交变换矩阵
将单位正交特征向量按列排成矩阵 $Q$：
$$Q = (\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3) = \begin{pmatrix} -\frac{2}{\sqrt{5}} & \frac{2}{3\sqrt{5}} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{\sqrt{5}} & \frac{4}{3\sqrt{5}} & -\frac{2}{3} \\ 0 & \frac{\sqrt{5}}{3} & \frac{2}{3} \end{pmatrix}.$$
则正交线性替换为 $X = QY$。
公式：正交变换 $X=QY$，$Q$ 正交矩阵。
提示：注意 $Q$ 的列顺序对应特征值顺序，且 $Q$ 需满足 $Q^TQ=E$。
步骤 8/8
目标：写出标准型
标准型为 $f = 2y_1^2 + 2y_2^2 - 7y_3^2$。
公式：标准型 $f = \lambda_1 y_1^2 + \lambda_2 y_2^2 + \lambda_3 y_3^2$
提示：特征值的顺序要与 $Q$ 的列顺序一致。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。