福州大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
14．（12 分）设 $\eta$ 是非齐次线性方程组 $A X=\beta$ 的一个特解，$\xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{n-\tau}$ 是相应齐次线性方程组 $A X=0$ 的一个基础解系。证明：
（1）向量组 $\eta, \eta+\xi_{1}, \eta+\xi_{2}, \cdots, \eta+\xi_{n-r}$ 线性无关．
（2）$\gamma$ 是 $A X=\beta$ 的一个解的充分必要条件是存在 $c_{0}, c_{1}, \cdots, c_{n-r} \in \mathbb{F}$ 使得
$$
\gamma=c_{0} \eta+c_{1}\left(\eta+\xi_{1}\right)+c_{2}\left(\eta+\xi_{2}\right)+\cdots+c_{n-r}\left(\eta+\xi_{n-r}\right) .
$$
其中 $c_{0}+c_{1}+\cdots+c_{n-r}=1$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：证明向量组线性无关：设线性组合为零
设存在一组数 $k_0, k_1, \ldots, k_{n-r} \in \mathbb{F}$，使得
$$k_0 \eta + k_1 (\eta + \xi_1) + \cdots + k_{n-r} (\eta + \xi_{n-r}) = 0.$$
提示：注意系数个数与向量个数一致，共 $n-r+1$ 个系数。
步骤 2/6
目标：整理并左乘矩阵A
整理得
$$(k_0 + k_1 + \cdots + k_{n-r}) \eta + k_1 \xi_1 + \cdots + k_{n-r} \xi_{n-r} = 0.$$
左乘 $A$，利用 $A\eta = \beta$ 和 $A\xi_i = 0$，得
$$(k_0 + k_1 + \cdots + k_{n-r}) \beta = 0.$$
公式：$A\eta = \beta$, $A\xi_i = 0$
提示：注意 $\beta$ 是非零向量，否则方程组齐次，基础解系含 $n$ 个向量，矛盾。
步骤 3/6
目标：推导系数和为零
由于 $\beta \neq 0$，故
$$k_0 + k_1 + \cdots + k_{n-r} = 0.$$
提示：这里用到 $\beta \neq 0$ 的条件，若 $\beta=0$ 则无法推出此结论。
步骤 4/6
目标：利用基础解系线性无关推出所有系数为零
代入原式得 $k_1 \xi_1 + \cdots + k_{n-r} \xi_{n-r} = 0$。由于 $\xi_1, \ldots, \xi_{n-r}$ 线性无关，故 $k_1 = \cdots = k_{n-r} = 0$，进而 $k_0 = 0$。所以向量组线性无关。
提示：注意 $k_0$ 由系数和为零及 $k_i=0$ 推出，不要遗漏。
步骤 5/6
目标：证明必要性：解可表示为给定形式
设 $\gamma$ 是 $AX=\beta$ 的解，则 $\gamma - \eta$ 是齐次解，故存在 $c_1, \ldots, c_{n-r} \in \mathbb{F}$ 使得
$$\gamma - \eta = c_1 \xi_1 + \cdots + c_{n-r} \xi_{n-r}.$$
令 $c_0 = 1 - (c_1 + \cdots + c_{n-r})$，则
$$\gamma = \eta + \sum_{i=1}^{n-r} c_i \xi_i = \left(1 - \sum_{i=1}^{n-r} c_i\right) \eta + \sum_{i=1}^{n-r} c_i (\eta + \xi_i) = c_0 \eta + \sum_{i=1}^{n-r} c_i (\eta + \xi_i),$$
且 $c_0 + \sum_{i=1}^{n-r} c_i = 1$。
公式：$\gamma - \eta$ 是齐次解
提示：注意 $c_0$ 的定义要满足系数和为1，不要忘记验证。
步骤 6/6
目标：证明充分性：给定形式下验证是解
若存在 $c_0, c_1, \ldots, c_{n-r} \in \mathbb{F}$ 使得 $\gamma = c_0 \eta + \sum_{i=1}^{n-r} c_i (\eta + \xi_i)$ 且 $c_0 + \sum_{i=1}^{n-r} c_i = 1$，则
$$\gamma = \left(\sum_{i=0}^{n-r} c_i\right) \eta + \sum_{i=1}^{n-r} c_i \xi_i = \eta + \sum_{i=1}^{n-r} c_i \xi_i.$$
左乘 $A$ 得 $A\gamma = A\eta + \sum_{i=1}^{n-r} c_i A\xi_i = \beta$，故 $\gamma$ 是解。
公式：$A\eta = \beta$, $A\xi_i = 0$
提示：注意系数和等于1的条件用于化简，不要遗漏。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。