福州大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
13．（12 分）设 $A, B$ 是 $n$ 阶方阵，满足 $A B=B A$ ．证明：若 $A$ 是可逆矩阵，$B$ 是幂零矩阵（即存在正整数 $k$ 使得 $B^{k}=O$ ），则 $A+B$ 可逆．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：利用可逆性将问题转化为证明 I+A^{-1}B 可逆
由于 $A$ 可逆，将 $A+B$ 写成 $A+B = A(I + A^{-1}B)$。因为 $A$ 可逆，所以 $A+B$ 可逆当且仅当 $I + A^{-1}B$ 可逆。
公式：A+B = A(I + A^{-1}B)
提示：注意矩阵乘法顺序，$A^{-1}B$ 与 $B A^{-1}$ 不同，但由 $AB=BA$ 可推出 $A^{-1}B = B A^{-1}$。
步骤 2/4
目标：证明 A^{-1}B 是幂零矩阵
由 $AB=BA$ 可得 $A^{-1}B = B A^{-1}$。因为 $B$ 是幂零矩阵，存在正整数 $k$ 使得 $B^k = O$。计算 $(A^{-1}B)^k = A^{-k} B^k = O$，所以 $A^{-1}B$ 也是幂零矩阵。
公式：(A^{-1}B)^k = A^{-k} B^k = O
提示：注意 $A^{-1}$ 与 $B$ 可交换的条件，否则 $(A^{-1}B)^k$ 不能直接展开为 $A^{-k}B^k$。
步骤 3/4
目标：证明 I+N 可逆（N 为幂零矩阵）
设 $N = A^{-1}B$，则 $N$ 是幂零矩阵，存在 $k$ 使得 $N^k = O$。构造矩阵 $S = I - N + N^2 - \cdots + (-1)^{k-1} N^{k-1}$。计算 $(I+N)S = I - (-1)^k N^k = I$，因此 $I+N$ 可逆，且逆为 $S$。
公式：(I+N)(I - N + N^2 - \cdots + (-1)^{k-1} N^{k-1}) = I
提示：注意级数只有有限项，因为 $N^k=O$；符号不要搞错。
步骤 4/4
目标：得出 A+B 可逆的结论
由于 $I+N$ 可逆，且 $A$ 可逆，所以 $A+B = A(I+N)$ 可逆，其逆为 $(I+N)^{-1} A^{-1}$。
公式：(A+B)^{-1} = (I+N)^{-1} A^{-1}
提示：注意逆矩阵的顺序：$(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$。
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