福州大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
4．（5 分）设 $A$ 是 $s \times t$ 矩阵，$B$ 是 $t \times s$ 矩阵，若 $\left(\begin{array}{ll}C & A \\ B & O\end{array}\right)$ 可逆，则 $A$ 的秩为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析矩阵可逆的条件
设 $M = \begin{pmatrix} C & A \\ B & O \end{pmatrix}$ 可逆，则 $M$ 是 $(s+t) \times (s+t)$ 矩阵，且秩为 $s+t$。
提示：可逆矩阵的秩等于其阶数。
步骤 2/5
目标：考虑后t列的线性无关性
后 $t$ 列为 $\begin{pmatrix} A \\ O \end{pmatrix}$，其中 $O$ 是 $t \times t$ 零矩阵。由于 $M$ 可逆，其列向量组线性无关，因此后 $t$ 列也线性无关。后 $t$ 列的最后 $t$ 个分量为零，所以这些列线性无关当且仅当 $A$ 的列向量线性无关，即 $\operatorname{rank}(A) = t$。
提示：注意零块的影响：后t列的最后t个分量全为零，因此这些列线性无关等价于A的列线性无关。
步骤 3/5
目标：考虑后t行的线性无关性
后 $t$ 行为 $\begin{pmatrix} B & O \end{pmatrix}$，其中 $O$ 是 $t \times t$ 零矩阵。由于 $M$ 可逆，其行向量组线性无关，因此后 $t$ 行也线性无关。后 $t$ 行的最后 $t$ 个分量为零，所以这些行线性无关当且仅当 $B$ 的行向量线性无关，即 $\operatorname{rank}(B) = t$。
提示：类似地，行线性无关的条件是B的行秩为t。
步骤 4/5
目标：利用秩不等式验证
由分块矩阵的秩不等式：$\operatorname{rank}(M) \leq \operatorname{rank}(A) + \operatorname{rank}(B) + \operatorname{rank}(C)$。但这里 $\operatorname{rank}(M)=s+t$，且 $\operatorname{rank}(A) \leq t$，$\operatorname{rank}(B) \leq t$，$\operatorname{rank}(C) \leq s$。因此 $s+t \leq \operatorname{rank}(A) + \operatorname{rank}(B) + \operatorname{rank}(C) \leq t + t + s = s+2t$，这并不矛盾，但无法直接得到 $\operatorname{rank}(A)=t$。实际上，从列线性无关已得 $\operatorname{rank}(A)=t$。
公式：$$\operatorname{rank}(M) \leq \operatorname{rank}(A) + \operatorname{rank}(B) + \operatorname{rank}(C)$$
提示：不等式只能给出上界，不能直接推出等式，需结合线性无关性。
步骤 5/5
目标：得出A的秩
由步骤2，后t列线性无关推出 $A$ 的列秩为 $t$，即 $\operatorname{rank}(A)=t$。
提示：注意A是s×t矩阵，列秩最大为t，因此秩为t意味着列满秩。
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